Dominio di una funzione fratta con funzione segno

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Buongiorno, avrei bisogno di capire come trovare il dominio di una funzione fratta in cui è presente la funzione segno di x:

 

f(x)=\frac{|x + 6|}{x^2+ 4x - 12}e^{xsgn(x+6)}

 

Ringrazio in anticipo!

Domanda di leoncinakiara

 
Soluzioni

  • Ciao Leoncinakiara, seguiamo le regole per determinare il dominio di una funzione.

    L'unica condizione da richiedere riguarda il denominatore, che non può mai annullarsi. Essa è

    x^2+4x-12\neq 0

    Dopo aver scomposto il polinomio con la regola della scomposizione con somma e prodotto

    (x+6)(x-2)\neq 0

    scopriamo che dobbiamo imporre

    x\neq -6\mbox{, }x\neq 2

    e nient'altro. Non farti ingannare dalla presenza della funzione segno ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ok grazie, ma era sbagliato riscrivere la funzione come

    \frac{sgn(x+6)}{x-2}e^{x sgn(x+6)}

    Risposta di leoncinakiara

  • No, non è sbagliato: lo puoi fare usando proprio la definizione di funzione segno. Però nota che dopo la semplificazione ottieni una funzione che è definita su un insieme più grande rispetto a quella scritta in partenza, e noi dobbiamo trovare il dominio della funzione originaria.

    f(x)=\frac{sgn(x+6)}{x-2}e^{x sgn(x+6)}

    dopo la semplificazione abbiamo una funzione che è definita su

    Dom(f)=(-\infty,+2)\cup(+2,+\infty).

    In particolare, possiamo riscriverla come

    \left\{\begin{matrix}-\frac{e^{-x}}{x-2}& x\in(-\infty,-6)\\ 0& x=-6\\ \frac{e^{x}}{x-2}& x\in (-6,+2)\cup (+2,\+\infty)\end{matrix}

    Che significa? Significa che questa funzione e quella nella forma iniziale coincidono meno che nel punto x=-6.

    Risposta di Omega
 
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