Dominio di una funzione fratta con funzione segno

Buongiorno, avrei bisogno di capire come trovare il dominio di una funzione fratta in cui è presente la funzione segno di x:

$f(x)=\frac{|x + 6|}{x^2+ 4x - 12}e^{xsgn(x+6)}$

Ringrazio in anticipo!

In Uni - Analisi - Domanda di leoncinakiara

Soluzioni

Ciao Leoncinakiara, seguiamo le regole per determinare il dominio di una funzione.

L'unica condizione da richiedere riguarda il denominatore, che non può mai annullarsi. Essa è

$x^2+4x-12\neq 0$

Dopo aver scomposto il polinomio con la regola della scomposizione con somma e prodotto

$(x+6)(x-2)\neq 0$

scopriamo che dobbiamo imporre

$x\neq -6\mbox{, }x\neq 2$

e nient'altro. Non farti ingannare dalla presenza della funzione segno ;)

Namasté!

Risposta di Omega
Ok grazie, ma era sbagliato riscrivere la funzione come

$\frac{sgn(x+6)}{x-2}e^{x sgn(x+6)}$

Risposta di leoncinakiara
No, non è sbagliato: lo puoi fare usando proprio la definizione di funzione segno. Però nota che dopo la semplificazione ottieni una funzione che è definita su un insieme più grande rispetto a quella scritta in partenza, e noi dobbiamo trovare il dominio della funzione originaria.

$f(x)=\frac{sgn(x+6)}{x-2}e^{x sgn(x+6)}$

dopo la semplificazione abbiamo una funzione che è definita su

$Dom(f)=(-\infty,+2)\cup(+2,+\infty)$ .

In particolare, possiamo riscriverla come

$\left\{\begin{matrix}-\frac{e^{-x}}{x-2}& x\in(-\infty,-6)\\ 0& x=-6\\ \frac{e^{x}}{x-2}& x\in (-6,+2)\cup (+2,\+\infty)\end{matrix}$

Che significa? Significa che questa funzione e quella nella forma iniziale coincidono meno che nel punto .

Risposta di Omega

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