Massimo ordine di infinitesimo con due parametri

Ciao come faccio a trovare i valori dei parametri in modo che questa funzione abbia ordine di infinitesimo massimo, al tendere di x a zero?

 

f(x) = cos(x) - (1 + µx2) / ( 1 + ßx2)

 

Grazie a chi mi aiuterà!

In Uni - Analisi - Domanda di leoncinakiara

Soluzioni

  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per fare sì che la funzione considerata

    f(x)=\cos{(x)}-\frac{1-\mu x^2}{1-\beta x^2}

    abbia ordine di infinitesimo massimo è necessario sviluppare la funzione in serie di Taylor Mc Laurin. Così facendo, si trova che lo sviluppo è dato da

    f(x)=x^2\left(-\mu+\beta-\frac{1}{2}\right)+x^4\left(\frac{1}{24}+\mu\beta-\beta^2\right)+o(x^5)

    Quindi dobbiamo scegliere i valori dei parametri \mu,\beta tali da annullare i primi due termini dello sviluppo, e dunque risolvere il sistema

    -\mu+\beta-\frac{1}{2}=0

    \frac{1}{24}+\mu\beta-\beta^2=0

    Questo ci garantisce un ordine di infinitesimo pari a 6, che è massimo relativamente alla dipendenza dai parametri considerati. Se il sistema ammette soluzioni, allora l'ordine di infinitesimo sarà 6; se non ammette soluzioni, dobbiamo limitarci ad annullare il primo termine dello sviluppo, ottenendo così un ordine di infinitesimo pari a 4.

    NOTA BENE: questo esercizio è stato commentato nel dettaglio qui - sviluppo di Taylor di una funzione con due parametri.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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