Massimo ordine di infinitesimo con due parametri

Ciao come faccio a trovare i valori dei parametri in modo che questa funzione abbia ordine di infinitesimo massimo, al tendere di x a zero?

f(x) = cos(x) - (1 + µx2) / ( 1 + ßx2)

Grazie a chi mi aiuterà!

Domanda di leoncinakiara
Soluzioni

Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Per fare sì che la funzione considerata

f(x) = cos(x)-(1-μ x^2)/(1-β x^2)

abbia ordine di infinitesimo massimo è necessario sviluppare la funzione in serie di Taylor Mc Laurin. Così facendo, si trova che lo sviluppo è dato da

f(x) = x^2(-μ+β-(1)/(2))+x^4((1)/(24)+μβ-β^2)+o(x^5)

Quindi dobbiamo scegliere i valori dei parametri μ,β tali da annullare i primi due termini dello sviluppo, e dunque risolvere il sistema

-μ+β-(1)/(2) = 0

(1)/(24)+μβ-β^2 = 0

Questo ci garantisce un ordine di infinitesimo pari a 6, che è massimo relativamente alla dipendenza dai parametri considerati. Se il sistema ammette soluzioni, allora l'ordine di infinitesimo sarà 6; se non ammette soluzioni, dobbiamo limitarci ad annullare il primo termine dello sviluppo, ottenendo così un ordine di infinitesimo pari a 4.

NOTA BENE: questo esercizio è stato commentato nel dettaglio qui - sviluppo di Taylor di una funzione con due parametri.

Namasté!

Risposta di Omega

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