Soluzioni
  • non mi scrive bene V.   V= x quadro più y quadro minore uguale z quadro diviso  quattro, x quadro più y quadro maggioreuguale z quadro meno tre,  zeta maggioreuguale zeero

     

    Risposta di Danielenonlasà
  • Ciao Danielenonlasà, arrivo a risponderti... 

    Risposta di Omega
  • Con un passaggio alle coordinate cilindriche te la cavi egregiamente:

    x=\rho\cos{(\theta)}

    y=\rho\sin{(\theta)}

    z=z

    La trasformazione considerata ha Jacobiano

    dxdydz\to \rho d\rhod\theta d\z

    Quindi l'integrale diventa

    \int\int\int{(\rho\sin{(\theta)}-1)z\rhod\rho d\theta dz}

    mentre il dominio di integrazione si semplifica parecchio:

    \rho^2\leq \frac{z^2}{4}

    \rho^2 \geq z^2-3

    z\geq 0

    Se dovessi avere difficoltà con i conti, non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi θ lo faccio variare tra 0 e 2pi, mentre ρ e z?

     

    Risposta di Danielenonlasà
  • Per quanto riguarda \theta, esattamente: dovrà variare tra [0,2\pi).

    Per quanto riguarda z,\rho, bisogna combinare le condizioni assegnate e per prima cosa estrarre le radici quadrate nelle due disequazioni. Ragionandoci un po' su, e tenendo conto che \rho\geq 0, si trova che

    se \sqrt{3}\leq z\leq 2\to 0\leq \rho \leq \sqrt{z^2-3}

    se z> 2\to 0\leq \rho \leq \frac{z}{2}

    Questo perché bisogna considerare il minimo tra le due funzioni di z che limitano superiormente \rho.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quando faccio questi esercizi mi blocco sempre a questo punto...potresti farmi vedere come arrivi a quegli estremi??

     

    Risposta di Danielenonlasà
  • Devi considerare le condizioni che sono assegnate: prendiamo

    \rho^2\leq \frac{z^2}{4}

    \rho^2\leq z^2-3

    Dovendo prendere 

    \rho\geq 0

    in quanto è la misura del raggio nel riferimento cilindrico, le due precedenti condizioni si riducono a

    0\leq \rho\leq \frac{z}{2}

    0\leq \rho\leq \sqrt{z^2-3}

    O, in un colpo solo

    0\leq \rho\leq min\left\{\frac{z}{2},\sqrt{z^2-3}\right\}

    Quindi, tenendo a questo punto in conto che

    z>0

    e che affinché abbia senso parlare della radice \sqrt{z^2-3} deve essere z^2-3\geq 0, cioè z\leq -\sqrt{3}\vee z\geq \sqrt{3}, dobbiamo ragionare sull'intervallo delle z dato da

    z\geq \sqrt{3}

    Su tale intervallo dobbiamo vedere dove

    \frac{z}{2}\geq \sqrt{z^2-3}

    Si tratta solo di risolvere questa disequazione, e regolarsi di conseguenza...se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere!

    Namasté!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ti ringrazio moltissimo!

    Risposta di Danielenonlasà
  • aspetta però c 'è un errore: ρ2>=z2-3 invece avevi scritto <=

    Risposta di Danielenonlasà
  • quindi a questo punto gli estremi diventano i seguenti?

    sqrt(x^2-3) <= ρ = sqrt(3)

    Risposta di Danielenonlasà
  • ha scritto male.. radice di zeta quadro meno tre minoreuguale rho minoreuguale z mezzi ; z maggioreuguale radice di tre

     

    Risposta di Danielenonlasà
  • Hai ragione! Meglio però: l'insieme di integrazione in questo modo è più semplice:

    0< z\leq \sqrt{3}\to 0\leq \rho \leq \frac{z}{2}

    \sqrt{3}< z\leq 2\to \sqrt{z^2-3}\leq \rho \leq \frac{z}{2}

    Questo perché dobbiamo prendere

    0\leq \rho \leq \frac{z}{2}

    e

    \sqrt{z^2-3}\leq \rho \leq \frac{z}{2}

    su intervalli determinati a partire dagli opportuni valori di z. Come capirlo? Semplicemente perché dopo avere estratto le radici quadrate sulle condizioni che definiscono \rho dobbiamo tenere conto del fatto che

    1) z deve essere maggiore di 0

    2) \rho deve essere maggiore di 0 (essendo il raggio in coordinate cilindriche non può esere negativo, quindi dobbiamo tralasciare gli intervalli relativi a valori negativi di \rho)

    3) Esistenza della radice \sqrt{z^2-3}, che non è definita per valori di z inferiori a \sqrt{3} (ricordando che deve essere z\geq 0)

    Quindi: per valori di z compresi tra 0 e \sqrt{3} prenderemo

    0< z\leq \sqrt{3}\to 0\leq \rho \leq \frac{z}{2}

    mentre per valori di z compresi tra \sqrt{3} e 2 prenderemo

    \sqrt{3}< z\leq 2\to \sqrt{z^2-3}\leq \rho \leq \frac{z}{2}

    Perché ci fermiamo a z=2 e non proseguiamo oltre? Perché dobbiamo garantire che le condizioni

    \rho^2\leq \frac{z^2}{4}

    e

    \rho^2\geq z^2-3

    valgano in contemporanea, quindi dobbiamo limitarci agli intervalli in cui

    \frac{z^2}{4}\geq z^2-3

    ossia 0\leq z\leq 2

    Ora è tutto a posto

    Namasté!

    Risposta di Omega
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