Consigli per maggiorare/minorare i termini di una serie

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Lo so, non c'è una dritta che permette di maggiorare o minorare i termini di una serie, ma magari avete qualche consiglio del tipo "quando compare il fattoriale puoi agire così...".

Domanda di Neumann

 
Soluzioni

  • Me ne occupo io, Omega è occupato con un'altra domanda, nel caso volesse aggiungere qualunque cosa a ciò che andrò a dire sarà il benvenuto. Il modo più veloce per minorare/ maggiorare una successione/ funzione / serie è utilizzare le disuguaglianze note:

    Eccone alcune:

    \log(1+x)\le x\quad \forall x>0

    |\sin(x)|\le |x|\quad\forall x

    (1+x)^n \ge 1+n x\quad\forall n\in \mathbb{N}\quad \forall x>-1, x\in \mathbb{R}

     

    Ovviamente questo non esaurisce il problema. Bisogna avere molta fantasia e ingegno, e naturalmente la strategia da seguire dipende molto dal problema che hai di fronte :)

     

    Se hai domande sono qui 

    Risposta di Ifrit

  • Sì, per esempio quando trovo dei fattoriali maggiorare con n^n è utile ben poche volte, qualche consiglio al riguardo?

    Risposta di Neumann

  • Certo, una cosa che trovo molto utile è "le disuguaglianze definitivamente valide"

    Un esempio è:

    a^n\le n! \mbox{ definitivamente }\quad\forall a>1 

    Vale a dire che da un certo indice in poi il fattoriale batte l'esponenziale in base a. 

    Da questa segue che:

    \frac{1}{n!}\le \frac{1}{a^n}\mbox{ definitivamente }\quad\forall a>1

    Utile soprattutto quando hai serie a termini in cui sono presenti esponenziali e fattoriali. 

    Il trucco è usare la giusta base per l'esponenziale per vedere se la serie converge o diverge :)

    Risposta di Ifrit
 
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