Soluzioni
  • Dobbiamo determinare le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di equazione

    (x^2)/(5)+y^2 = 1

    condotte per il punto P(-1,-2) esterno all'ellisse.

    Procediamo! Scriviamo innanzitutto l'equazione della retta per un punto in forma generica

    y-y_P = m(x-x_P)

    e sostituiamo x_P = -1 e y_P = -2:

    y-(-2) = m(x-(-1))

    Svolgiamo i semplici calcoli che ne conseguono e otteniamo l'equazione del fascio proprio di rette passanti per il punto P

    y = mx+m-2

    Tra le rette del fascio dobbiamo cercare quelle tangenti all'ellisse, per cui mettiamo l'equazione del fascio a sistema con l'equazione dell'ellisse

    (x^2)/(5)+y^2 = 1 ; y = mx+m-2

    Sostituiamo la y nella prima equazione

    (x^2)/(5)+(mx+m-2)^2 = 1

    Sviluppiamo il quadrato di trinomio, svolgiamo i calcoli e ordiniamo secondo le potenze decrescenti di x

    (5m^2+1)x^2+10(m^2-2m)x+5m^2-20m+15 = 0

    Imponiamo ora la condizione di tangenza tra retta ed ellisse, ossia che richiediamo che il discriminante associato all'equazione di secondo grado sia nullo.

    Utilizziamo la formula del delta quarti

     (Δ)/(4) = [5(m^2-2m)]^2-(5m^2+1)(5m^2-20m+15) = 20m^2+20m-15

    Imponiamo che sia nullo

    (Δ)/(4) = 0 → 20m^2+20m-15 = 0

    e risolviamo questa equazione, che ha per soluzioni

    m_1 = -(3)/(2) ; m_2 = (1)/(2)

    Sostituiamole una per volta nell'equazione del fascio di rette per P

    y+2 = m(x+1)

    e otteniamo le equazioni delle rette tangenti cercate, che sono

     3x+2y+7 = 0 ; x-2y-3 = 0

    Abbiamo finito.

    Risposta di Galois
 
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