Calcolare le tangenti a un'ellisse

Dobbiamo determinare le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di equazione

condotte per il punto esterno all'ellisse.

Procediamo! Scriviamo innanzitutto l'equazione della retta per un punto in forma generica

e sostituiamo e :

Svolgiamo i semplici calcoli che ne conseguono e otteniamo l'equazione del fascio proprio di rette passanti per il punto

Tra le rette del fascio dobbiamo cercare quelle tangenti all'ellisse, per cui mettiamo l'equazione del fascio a sistema con l'equazione dell'ellisse

Sostituiamo la nella prima equazione

Sviluppiamo il quadrato di trinomio, svolgiamo i calcoli e ordiniamo secondo le potenze decrescenti di

Imponiamo ora la condizione di tangenza tra retta ed ellisse, ossia che richiediamo che il discriminante associato all'equazione di secondo grado sia nullo.

Utilizziamo la formula del delta quarti

Imponiamo che sia nullo

e risolviamo questa equazione, che ha per soluzioni

Sostituiamole una per volta nell'equazione del fascio di rette per

e otteniamo le equazioni delle rette tangenti cercate, che sono

Abbiamo finito.