Soluzioni
  • L'esercizio chiede di determinare la famiglia delle primitive associata alla funzione

    f(x)=\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}

    o detto in altri termini dobbiamo risolvere

    \int\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}dx=\ \ \ (\bullet)

    che possiamo integrare per sostituzione.

    Quella proposta dal libro è una sostituzione perfetta, ma prima di procedere effettuiamo alcune manipolazioni algebriche, così da agevolare la sostituzione.

    Utilizziamo le proprietà delle potenze, mediante le quali possiamo esprimere

    e^{2x}=(e^{x})^2

    per la regola sulla potenza di una potenza letta al contrario.

    =\int\frac{1}{(e^{x})^2+1}\cdot e^{x}dx=\ \ \ (\bullet)

    A questo punto non ci resta che effettuare la sostituzione esponenziale t=e^{x} e determinare il nuovo differenziale associato dt=e^{x}dx.

    L'integrale diventa

    =\int\frac{1}{t^2+1}dt=

    che è un integrale fondamentale che ha come risultato un'arcotangente a meno di costanti additive

    =\arctan(t)+c=

    Non ci resta che ripristinare la variabile x, tenendo a mente la sostituzione effettuata, ossia t=e^{x}:

    =\arctan(e^{x})+c\mbox{ con }c\in\mathbb{R}

    L'esercizio è completato. Nel caso servisse, ecco il tool sugli integrali indefiniti online, con cui controllare la correttezza dei risultati degli integrali indefiniti.

    Risposta di Ifrit
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