Integrale da calcolare per sostituzione

Stavo svolgendo alcuni integrali per sostituzione ma non riesco a capire come procedere. In particolare ho il seguente integrale indefinito

∫(e^(x))/(e^(2x)+1)dx

per cui il libro suggerisce la sostituzione t = e^(x) e dà come risultato arctan(e^(x))+c.

Domanda di fibonacci
Soluzione

L'esercizio chiede di determinare la famiglia delle primitive associata alla funzione

f(x) = (e^(x))/(e^(2x)+1)

o detto in altri termini dobbiamo risolvere

∫(e^(x))/(e^(2x)+1)dx = (•)

che possiamo integrare per sostituzione.

Quella proposta dal libro è una sostituzione perfetta, ma prima di procedere effettuiamo alcune manipolazioni algebriche, così da agevolare la sostituzione.

Utilizziamo le proprietà delle potenze, mediante le quali possiamo esprimere

e^(2x) = (e^(x))^2

per la regola sulla potenza di una potenza letta al contrario.

= ∫(1)/((e^(x))^2+1)·e^(x)dx = (•)

A questo punto non ci resta che effettuare la sostituzione esponenziale t = e^(x) e determinare il nuovo differenziale associato dt = e^(x)dx.

L'integrale diventa

= ∫(1)/(t^2+1)dt =

che è un integrale fondamentale che ha come risultato un'arcotangente a meno di costanti additive

= arctan(t)+c =

Non ci resta che ripristinare la variabile x, tenendo a mente la sostituzione effettuata, ossia t = e^(x):

= arctan(e^(x))+c con c∈R

L'esercizio è completato. Nel caso servisse, ecco il tool sugli integrali indefiniti online, con cui controllare la correttezza dei risultati degli integrali indefiniti.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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