Soluzioni
  • Esistono diverse strategie che consentono di calcolare la distanza tra due rette parallele nello spazio: quello che proporremo qui di seguito è il più semplice.

    Siano r,s due rette parallele nello spazio \mathbb{R}^3, consideriamo un punto

    P(x_{P},y_{P},z_{P})\in r

    e determiniamo il piano perpendicolare alla retta r e passante per P: indichiamolo con \pi.

    Calcoliamo il punto Q intersezione tra il piano e la retta s e osserviamo che per costruzione il vettore \overrightarrow{PQ} è perpendicolare sia alla retta r, sia alla retta s e la sua norma euclidea coincide con la distanza tra le due rette:

    d(r,s)=||\overrightarrow{PQ}||

    Dopo questo breve ripasso teorico occupiamoci del problema: sfruttiamo le equazioni parametriche della retta r

    r: \ \begin{cases}x=3t \\ y=2t\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    per ricavare le coordinate di un punto P: attribuiamo a t il valore zero

    P(x_{P},y_{P},z_{P})=(3\cdot 0, 2\cdot 0, 0)=(0,0,0)

    Il prossimo passaggio prevede di scrivere l'equazione cartesiana del piano \pi passante per P e ortogonale a r.

    Indicato con \mathbf{v}_{r} il vettore che individua la direzione della retta r composto dai coefficienti che moltiplicano t

    \mathbf{v}_{r}=(l_{r},m_{r},n_{r})=(3,2,1)

    allora il piano \pi è descritto da:

    \pi:\ l_{r}(x-x_{P})+m_{r}(y-y_{P})+n_{r}(z-z_{P})=0

    ossia

    \pi:\ 3x+2y+z=0

    A questo punto calcoliamo il punto Q di intersezione tra la retta s e \pi: impostiamo il sistema lineare composto dalle equazioni di s e di \pi

    \begin{cases}x=2+3t\\ y=4+2t\\ z=t \\ 3x+2y+z=0\end{cases}

    e risolviamolo con il metodo di sostituzione: sostituiamo

    x=2+3t,\ y=4+2t,\ z=t

    nell'ultima relazione cosicché il sistema diventi

    \begin{cases}x=2+3t\\ y=4+2t\\ z=t\\ 3(2+3t)+2(4+2t)+t=0\ \ \ \to \ \ \  14+14t=0\end{cases}

    Dall'equazione di primo grado in t segue immediatamente che t=-1, per cui il sistema è soddisfatto dalla quadrupla

    (x,y,z,t)=(-1,2,-1,-1)

    le cui prime tre componenti sono le coordinate di Q

    Q(x_{Q},y_{Q},z_{Q})=(-1,2,-1)

    A questo punto calcoliamo le componenti del vettore che congiunge P\ \mbox{e} \ Q

    \\ \overrightarrow{PQ}=(x_{Q}-x_{P},y_{Q}-y_{P},z_{Q}-z_{P})=\\ \\ =(-1-0,2-0,-1-0)=(-1,2,-1)

    ed esplicitiamo la sua norma euclidea

    ||\overrightarrow{PQ}||=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6}

    Poiché la norma del vettore \overrightarrow{PQ} uguaglia la distanza tra le rette r \ \mbox{e} \ s, concludiamo che

    d(r,s)=\sqrt{6}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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