Soluzioni
  • Il nostro obiettivo consiste nel calcolare la derivata della funzione

    f(x)=(x-1)e^{\tfrac{1}{1-x}}

    e per raggiungerlo useremo tra le altre:

    - la regola per la derivata del prodotto

    \frac{d}{dx}[g(x)h(x)]=\frac{d}{dx}[g(x)]h(x)+g(x)\frac{d}{dx}[h(x)]

    - la regola per la derivata dell'esponenziale, in combinazione con la regola della catena

    \frac{d}{dx}[e^{h(x)}]=e^{h(x)}\cdot\frac{d}{dx}[h(x)]

    Iniziamo!

    f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}\left[(x-1)e^{\tfrac{1}{1-x}}\right]=

    Calcoliamo la derivata del prodotto

    =\frac{d}{dx}[(x-1)]\cdot e^{\tfrac{1}{1-x}}+(x-1)\cdot\frac{d}{dx}\left[e^{\tfrac{1}{1-x}}\right]=

    La derivata del polinomio è praticamente ovvia e vale 1, quella dell'esponenziale è meno evidente e richiede qualche passaggio algebrico in più

    =e^{\tfrac{1}{1-x}}+(x-1)\cdot e^{\tfrac{1}{1-x}}\cdot\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{1-x}\right]=

    Per esplicitare l'ultima derivata, interpretiamo la frazione come il reciproco di 1-x

    =e^{\tfrac{1}{1-x}}+(x-1)\cdot e^{\tfrac{1}{1-x}}\cdot\frac{d}{dx}\left[(1-x)^{-1}\right]=

    e procediamo con la regola per la derivata di una potenza

    \\ =e^{\tfrac{1}{1-x}}+(x-1)\cdot e^{\tfrac{1}{1-x}}\cdot (-1)\cdot(1-x)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}[1-x]= \\ \\ \\ =e^{\tfrac{1}{1-x}}+(x-1)e^{\tfrac{1}{1-x}}\cdot (-1)\cdot (1-x)^{-2}\cdot (-1)=

    Da questo punto in poi sono solo passaggi algebrici.

    \\ =e^{\tfrac{1}{1-x}}+(x-1)(1-x)^{-2}e^{\tfrac{1}{1-x}}= \\ \\ \\ =e^{\tfrac{1}{1-x}}-(1-x)(1-x)^{-2}e^{\tfrac{1}{1-x}}= \\ \\ \\ =e^{\tfrac{1}{1-x}}-(1-x)^{-1}e^{\tfrac{1}{1-x}}=

    Mettiamo in evidenza il fattore comune e^{\tfrac{1}{1-x}} e usiamo la definizione di potenza con esponente negativo

    \\ =e^{\tfrac{1}{1-x}}\left[1-\frac{1}{1-x}\right]= \\ \\ \\ =e^{\tfrac{1}{1-x}}\left[\frac{1-x-1}{1-x}\right]=\\ \\ \\ =e^{\tfrac{1}{1-x}}\cdot\frac{-x}{1-x}=e^{\tfrac{1}{1-x}}\cdot\frac{x}{x-1}

    L'esercizio è concluso!

    Risposta di Ifrit
 
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