Ciao pcplayer,
provo a rispondere anche se non sono sicuro di aver capito a cosa ti riferisci. L'assioma che garantisce che l'ordinamento dei numeri reali sia effettivamente quello giusto, cioè che estenda quello dei numeri razionali aggiungendovi completezza e continuità, è quello di Dedekind.
La costruzione dei numeri reali di Dedekind avviene tramite sezione, dove fissato un numero r la sezione da esso definita viene indicata da (Ar,Br) ed è data da
a: a≤r V b:b≥r
Per costruire i numeri reali con queste sezioni Dedekind usa l'assioma di continuità e completezza, che dice
se S è un sottoinsieme dei numeri reali non vuoto e limitato superiormente, allora S possiede estremo superiore.
È proprio grazie a questo assioma che è possibile dimostrare che i numeri reali sono uno spazio completo (ogni successione di Cauchy è convergente).
Ora è possibile che invece tu chiedessi la definizione di relazione d'ordine. In questo caso non abbiamo bisogno di assiomi, ma solo della sua definizione:
si dice relazione d'ordine la mappa (SxS)→(0,1) cioè un'operazione binaria che come risultato può solo dare i valori 0 e 1, cioè falso e vero rispettivamente. Questa operazione, chiamiamola § deve essere
1. Riflessiva: sia a appartenente a S, allora a§a
2. Antisimmetrica: siano a e b appartenenti a S.
Se a§b e b§a
si ha che
a=b
(cioè se due elementi sono simmetricamente in relazione, allora l'unica possibilità è che siano identici)
3. Transitiva: siano a , b c appartenenti a S.
Se a§b e b§c
allora
a§c
Vedrai come questa definizione è compatibile con l'ordinamento dato da ( ≤ ) sui numeri reali.
Alpha.
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