Scrivere gli assiomi relativi all'ordinamento dei numeri reali?

Ciao pcplayer,

provo a rispondere anche se non sono sicuro di aver capito a cosa ti riferisci. L'assioma che garantisce che l'ordinamento dei numeri reali sia effettivamente quello giusto, cioè che estenda quello dei numeri razionali aggiungendovi completezza e continuità, è quello di Dedekind.

La costruzione dei numeri reali di Dedekind avviene tramite sezione, dove fissato un numero r la sezione da esso definita viene indicata da (A_r,B_r) ed è data da

a: a≤r V b:b≥r

Per costruire i numeri reali con queste sezioni Dedekind usa l'assioma di continuità e completezza, che dice

se S è un sottoinsieme dei numeri reali non vuoto e limitato superiormente, allora S possiede estremo superiore.

È proprio grazie a questo assioma che è possibile dimostrare che i numeri reali sono uno spazio completo (ogni successione di Cauchy è convergente).

Ora è possibile che invece tu chiedessi la definizione di relazione d'ordine. In questo caso non abbiamo bisogno di assiomi, ma solo della sua definizione:

si dice relazione d'ordine la mappa (SxS)→(0,1) cioè un'operazione binaria che come risultato può solo dare i valori 0 e 1, cioè falso e vero rispettivamente. Questa operazione, chiamiamola § deve essere

1. Riflessiva:  sia a appartenente a S, allora a§a

2. Antisimmetrica: siano a e b appartenenti a S.

Se a§b e b§a

si ha che

a=b

(cioè se due elementi sono simmetricamente in relazione, allora l'unica possibilità è che siano identici)

3. Transitiva: siano a , b c appartenenti a S.

Se a§b e b§c

allora

a§c

Vedrai come questa definizione è compatibile con l'ordinamento dato da ( ≤ ) sui numeri reali.

Alpha.