Esercizio: grafico di una funzione con la Geometria Analitica

L'esercizio ci chiede di tracciare il grafico della funzione irrazionale

senza effettuarne lo studio completo, bensì rifacendoci alla teoria della Geometria Analitica.

Per cominciare dobbiamo imporre le condizioni di esistenza e le condizioni di concordanza.

Poiché il radicale ha indice pari, il termine è definito solo se il radicando è non negativo: dobbiamo cioè risolvere la disequazione di secondo grado

Le condizioni di esistenza sono quindi date da:

La condizione di concordanza impone che, in un'uguaglianza, il segno del primo membro coincida con quello del secondo membro, e viceversa. Poiché la radice quadrata a secondo membro è maggiore-uguale a zero, dev'essere non negativo anche il primo membro.

Dopo aver imposto le condizioni di esistenza e la condizione di concordanza, il prossimo passo prevede di riscrivere l'espressione

in modo che sia riconducibile all'equazione di un luogo geometrico notevole come la parabola, l'ellisse, l'iperbole o la circonferenza.

Completiamo il quadrato all'interno del radicando

dopodiché eleviamo al quadrato i due membri, così da sbarazzarci della radice quadrata

Ci siamo! L'ultima è l'equazione della circonferenza di centro nel punto e raggio .

I punti che costituiscono il grafico della funzione coincidono con quelli che soddisfano il sistema dato dall'equazione della circonferenza, dalle condizioni di esistenza e dalle condizioni di concordanza

Per tracciare il grafico di basta quindi disegnare la parte di circonferenza di centro e raggio che giace nel semipiano delle ordinate non negative, e con ascisse comprese tra 0 e 2

In conclusione il grafico della funzione è la semicirconferenza che giace nel primo quadrante.