Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di tracciare il grafico della funzione irrazionale

    y = √(2x-x^2)

    senza effettuarne lo studio completo, bensì rifacendoci alla teoria della Geometria Analitica.

    Per cominciare dobbiamo imporre le condizioni di esistenza e le condizioni di concordanza.

    Poiché il radicale ha indice pari, il termine √(2x-x^2) è definito solo se il radicando è non negativo: dobbiamo cioè risolvere la disequazione di secondo grado

    2x-x^2 ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ 2

    Le condizioni di esistenza sono quindi date da:

    C.E.: 0 ≤ x ≤ 2

    La condizione di concordanza impone che, in un'uguaglianza, il segno del primo membro coincida con quello del secondo membro, e viceversa. Poiché la radice quadrata a secondo membro è maggiore-uguale a zero, dev'essere non negativo anche il primo membro.

    C.C.: y ≥ 0

    Dopo aver imposto le condizioni di esistenza e la condizione di concordanza, il prossimo passo prevede di riscrivere l'espressione

    y = √(2x-x^2)

    in modo che sia riconducibile all'equazione di un luogo geometrico notevole come la parabola, l'ellisse, l'iperbole o la circonferenza.

    Completiamo il quadrato all'interno del radicando

     y = √(-(x^2-2x)) ; y = √(-(x^2-2x+1-1)) ; y = √(1-(x-1)^2)

    dopodiché eleviamo al quadrato i due membri, così da sbarazzarci della radice quadrata

    y^2 = 1-(x-1)^2 → (x-1)^2+y^2 = 1

    Ci siamo! L'ultima è l'equazione della circonferenza di centro nel punto C(x_C,y_C) = (1,0) e raggio R = 1.

    I punti che costituiscono il grafico della funzione y = √(2x-x^2) coincidono con quelli che soddisfano il sistema dato dall'equazione della circonferenza, dalle condizioni di esistenza e dalle condizioni di concordanza

    (x-1)^2+y^2 = 1 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; y ≥ 0

    Per tracciare il grafico di f(x) basta quindi disegnare la parte di circonferenza di centro C(1,0) e raggio R = 1 che giace nel semipiano delle ordinate non negative, e con ascisse comprese tra 0 e 2

     

    Grafico di una funzione con la Geometria Analitica

     

    In conclusione il grafico della funzione è la semicirconferenza che giace nel primo quadrante.

    Risposta di Galois
 
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