Soluzioni
  • Grazie per aver riaperto la domanda, ora è tutto a posto! :) Arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Benissimo: prima di tutto vediamo di controllare la derivata prima. Cosa ti risulta?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • derivata prima= 1/2 * [cos((2x^2)-1)/((x^2)+1)]^1/2  *(-sen((2x^2)-1)/((x^2)+1) *6x/((x^2)+1)^2

    Risposta di peppe30
  • Uhm, non mi torna. Bisogna applicare il teorema di derivazione della funzione composta, e partire a derivare prima la radice quadrata, poi moltiplicare il tutto per la derivata del coseno, poi moltiplicare ancore per la derivata dell'argomento del coseno.

    Non è semplice, ma alla fine dopo un po' di conti si giunge alla derivata prima. Chiamando per brevità di notazioni

    F(x)=\frac{2x^2-1}{x^2+1}

    Troviamo come derivata:

    f'(x)=\frac{-3x\sin{(F(x))}}{(x^2+1)^2\sqrt{\cos{(F(x))}}}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ti ringrazio

     

    Risposta di peppe30
  • io mi sono bloccato dopo aver calcolato la derivata prima..... nn riesco a studiarne il segno, crescenza e decrescenza

     

     

    Risposta di peppe30
  • Figurati!

    Quindi, che facciamo? Passiamo al segno della derivata prima? 

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok ti ringrazio in anticipo

     

    Risposta di peppe30
  • Prego! :)

    Studiamo dunque il segno della derivata prima: dobbiamo risolvere la disequazione

    f'(x)\geq 0

    Prendiamo allora separatamente i termini che compongono numeratore e denominatore, e studiamone il segno separatamente:

    -3x\sin{\left(\frac{2x^2-1}{x^2+1}\right)}\geq 0

    che è positivo per

    x\leq -\frac{1}{\sqrt{2}}\vee 0\leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}

    Poi abbiamo il termine di quarto grado

    (x^2+1)^2>0

    che è sempre positivo, quindi lo lasciamo perdere, ed infine

    \sqrt{\cos{\left(\frac{2x^2-1}{x^2+1}\right)}}>0

    che è positivo per

    x\in\left[-\sqrt{\frac{1+\frac{\pi}{2}}{2-\frac{\pi}{2}}},-\sqrt{\frac{1+\frac{\pi}{2}}{2-\frac{\pi}{2}}}\right]

    Abbiamo allora il segno della derivata prima: è positiva per

    -\sqrt{\frac{1+\frac{\pi}{2}}{2-\frac{\pi}{2}}}<x\leq -\frac{1}{\sqrt{2}}\vee 0\leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}

    intervalli in cui la funzione sarà crescente. Sulle restanti parti del dominio, la funzione sarà invece decrescente.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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