Soluzioni
  • Consideriamo l'equazione goniometrica

    \sin(4x)+\sin(6x)=2\cos(x)

    Il nostro intento è quello di determinare i valori da attribuire a x affinché sussista l'uguaglianza. Purtroppo però vi sono alcune complicazioni: seno e coseno hanno argomenti differenti, pertanto saremo costretti a usare qualche formula goniometrica che permetta di semplificare le espressioni in gioco.

    In particolare possiamo utilizzare le formule di prostaferesi che consentono di esprimere la somma di seni al primo membro come segue:

    \\ \sin(4x)+\sin(6x)=2\sin\left(\frac{4x+6x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x-6x}{2}\right)= \\ \\ \\ =2\sin(5x)\cos(-x)

    Le formule per archi associati permettono inoltre di esprimere \cos(-x) come \cos(x), pertanto:

    \sin(4x)+\sin(6x)=2\sin(5x)\cos(x) \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

    Rimpiazziamo il primo membro dell'equazione con l'espressione ottenuta

    2\sin(5x)\cos(x)=2\cos(x)

    dopodiché trasportiamo tutti i termini al primo membro

    2\sin(5x)\cos(x)-2\cos(x)=0

    Raccogliamo a fattore comune il termine 2\cos(x)

    2\cos(x)(\sin(5x)-1)=0

    e sfruttiamo infine la legge di annullamento del prodotto: garantisce che il prodotto al primo membro vale zero nel momento in cui almeno uno dei fattori che lo compongono è a sua volta nullo. Impostiamo quindi le relazioni

    \cos(x)=0 \ \ \ , \ \ \ \sin(5x)-1=0

    e analizziamole singolarmente partendo dalla prima.

    \cos(x)=0

    è un'equazione goniometrica elementare, soddisfatta dai valori

    x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

    L'equazione goniometrica in seno

    \sin(5x)-1=0 \ \ \ \to \ \ \ \sin(5x)=1

    si risolve ricordando che il seno di un angolo è pari a 1 se e solo se l'angolo vale \frac{\pi}{2}+2k\pi al variare di k nell'insieme dei numeri interi. Grazie a questa considerazione possiamo impostare la seguente equazione

    5x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

    da cui ricaviamo

    x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}\ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

    In conclusione, l'equazione

    \sin(4x)+\sin(6x)=2\cos(x)

    è soddisfatta dai seguenti valori

    \\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}

    dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

    Risposta di Ifrit
 
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