Esercizi sui connettivi logici?
Salve mi potete aiutare con questo esercizio, non riesco ad arricarci:
La logica stessa può essere studiata col metodo deduttivo. Ad esempio (limitandoci alla logica delle proposizioni), si possono accettare alcune tautologie, come assiomi logici e cercare di dedurre da esse tutte le altre: ad esempio, si possono accettare le seguenti quattro:
(P o P) => P
P => P o 2
(P o 2) => (2 o P)
(P => 2) => ((R o P) => (R o 2))
partendo da queste, e applicando sempre la regola di deduzione, si dimostrino le seguenti taulogie:
(P => 2) => ((S => P) => (S=>2))
P => P
P => non(non P)
(P => 2) => ((non2) => (nonP))
Ciao S4g1tTaRiO, vediamo di risolvere subito. Con "o" intendi vel (o inclusivo) o aut (o esclusivo)?
Risposta di Omega
non viene specificato quindi penso vada bene qualsiasi "o" che aiuti a risolvere l'esercizio..Grazie Omega
Risposta di S4g1tTaRi0
Ciao S4g1tTaRiO, da quanto ci hai scritto nella domanda, dovrebbe trattarsi di un vel.
Infatti è l'unico caso in cui le proprietà che hai scritto sono effettivamente delle tautologie.
Numeriamo le tautologie base
1. (P V P) => P
2. P => P V 2
3. (P V 2) => (2 V P)
4. (P => 2) => ((R V P) => (R V 2))
Dimostriamo le altre:
I) (P => 2) => ((S => P) => (S=>2))
ricordiamo che il se ... allora si può "tradurre" utilizzando altri simboli logici nel seguente modo:
(A => B) ≡ ¬( A Λ ¬B )
quindi possiamo riscrivere
(S => P)≡ ¬( S Λ ¬P )
e utilizzando la legge di De Morgan si ha
¬ ( S Λ ¬P ) = ¬ S V P
N.B. : vale la regola della doppia negazione: ¬¬P = P.
Allo stesso modo si ha
(S => 2)≡ ¬( S Λ ¬2 )= ¬ S V 2.
Se riscriviamo tutto quanto otteniamo
(P => 2) => ((¬ S V P) => (¬ S V 2))
che equivale alla tuatuologia 4 quando ¬ S=R .
II) P => P
Applicando prima la tautologia 2 e poi la 1 si ha
P => P V P => P
III) P => ¬(¬ P)
Applichiamo nel primo passaggio la tautologia 2 e nell'ultimo la tautologia 1:
P => P V P =>¬¬(P V P) => ¬¬ P
Nel passaggio centrale abbiamo usato la seguente catena di uguaglianze logiche:
¬(¬P Λ ¬P )=¬¬(¬¬P V ¬¬P)=¬¬(P V P)
IV) (P => 2) => ((¬2) => ( ¬P))
Ricordiamo che vale (A => B) ≡ ¬( A Λ ¬B ) quindi
(P => 2) ≡ ¬( P Λ ¬2 ) ≡ ¬ P V ¬¬2 ≡ ¬¬2 V ¬P ≡ ¬ (¬2 Λ P)
Quindi questo si traduce in ¬2 =>¬ P per la solita equivalenza logica.
Nel caso non ti tornasse qualche passaggio prova afare epsplicitamente le tabelle di verità per ogni proposizione.
Risposta di Alpha