Soluzioni
  • Ciao frascatano, arrivo subito :)

    Risposta di Ifrit
  • Ti ringrazio! Iniziamo :)

    Il limite è:

    \lim_{x\to 0}\frac{(e^{4x-x^2}-1)\sin(x+4x^2)-4x^2}{x^3}

    Il problema di fondo, come ti dicevo nella risposta precedente, quando si sviluppa con Taylor bisogna stare attenti, perché è necessario che almeno un termine significativo rimanga. 

    Sviluppiamo la funzione fermandoci al secondo ordine:

    (e^{4x-x^2}-1)\sin(x+4x^2)= 4x^2+o(x^2)

    Se andiamo a sostituire nel limite otteniamo:

    \lim_{x\to 0}\frac{4x^2+o(x^2)-4x^2}{x^3}= \lim_{x\to 0}\frac{o(x^2)}{x^3}

    In questo caso il limite risulterà sicuramente sbagliato, o meglio non possiamo nemmeno risolverlo perché non abbiamo sufficienti informazioni.

    Se invece sviluppiamo fino all'ordine tre (in questo caso l'ordine è suggerito dal denominatore x^3)

    allora:

    (e^{4x-x^2}-1)\sin(x+4x^2)= 4x^2+23 x^3+o(x^3)

    Andando a sostituire:

    \lim_{x\to 0}\frac{4x^2+23x^3+o(x^3)-4x^2}{x^3}= \lim_{x\to 0}\frac{23x^3}{x^3}=23

    che è ovviamente il risultato corretto.

     

    Non mi sovviene però il motivo per il quale tu abbia ottenuto 15. Sicuro d'aver fatto correttamente i passaggi? ;)

    Risposta di Ifrit
  • a me veniva 15 perche io non usavo teylor ovvero io so che il limite di e^(n(x))-1 tende a n(x) se quest ultima tende a zero. QUindi nel mio caso ho e^(4x-x^2) dove n(x)=4x-x^2 e la n(x) tende a zero. Quindi ho sostituito direttamente.. Al posto di e^(4x-x^2)-1 ho scritto 4x-x^2 e al posto di sin(x+4x^2) ho scritto x+4x^2 e ho fatto le varie moltiplicazioni.....e infine il limite mi veniva 15,perche non posso fare cosi???

    Risposta di frascatano
  • Ah ecco, la questione è delicata e tutto dipende dall' o-piccolo 

    Devi sapere che i limiti notevoli sono tutti derivanti da Taylor, arrestato al primo ordine, faccio un esempio:

    \sin(t)= t+o(t) per t che tende a zero, da questo segue che:

    \frac{\sin(t)}{t}= 1+\frac{o(t)}{t}

    Dunque:

    \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}= 1 che è appunto il limite notevole.

    Il nostro o piccolo nasconde tutti i termini che sono un infinitesimo di ordine superiore ad 1.

    Quando abbiamo una funzione composta come nel nostro caso, utilizzando il limite notevole sappiamo che

    \sin(x+4x^2)= x+4x^2+ o(x^2)

    mentre:

    e^{4x-x^2}-1= 4x-x^2 +o(x^2)

    Hai notato l'o piccolo? Ha preso le sembianze della potenza più grande, quando vai a fare il prodotto:

    (x+4x^2+o(x^2))(4x-x^2+o(x^2))= 4x^2+15x^3-4x^4+o(x^2)

    Ora l'o-piccolo ingloba tutti gli infinitesimi di ordine superiore:

    (x+4x^2+o(x^2))(4x-x^2+o(x^2))= 4x^2+o(x^2)

    Visto? E' scomparso anche il termine x^3, proprio perché l'o-piccolo lo ha inglobato. 

    Questo succede praticamente sempre quando hai funzioni composte ed in particolare nei prodotti di funzioni composte. Spero di essere stato chiaro, l'ultima volta che mi sono permesso di parlare di o-piccolo, il mio amico è scappato a gambe levate :)

     

    Risposta di Ifrit
  • si penso di aver capito perche facendo tutte le moltiplicazioni avro 4x^2+15x^3-4x^2 +o(x^2). Metto o piccolo di x^2 perche mi sono fermato precedentemente al secondo ordine??? quindi essendo l o piccolo al secondo ordine mi scompaiano,perche inglobati nell o piccolo, sia i termini di x^3 e di x^4. Quindi ritornando al testo del limiti mi rimane (

    (4x^2-4x^2+o(x^2)/x^3) e questo non è risolvibile ??

    Risposta di frascatano
  • Hai capito perfettamente! 

    No non è risolvibile proprio perché non hai un termine significativo.  4x^2-4x^2=0 quello che ti rimane è \frac{o(x^2)}{x^3}. Le informazioni che abbiamo però sono insufficienti per concludere quale sia il valore del limite. 

    E' chiaro quindi che dobbiamo sviluppare le funzioni almeno fino al terzo ordine. Se hai domande di qualsiasi sorta inerenti all'esercizio sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • perfetto grazie mille.........

    Risposta di frascatano
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi