Soluzioni
  • Ciao frascatano, il tempo di pensarci e sono da te :)

    Risposta di Ifrit
  • grazie

    Risposta di frascatano
  • \lim_{n\to\infty} (\sin(e^{-n})- e^{-n})^n n^{\frac{4}{n}} e' questo il limite?

    Un'ulteriore domanda: hai studiato il polinomio di Taylor?

    Risposta di Ifrit
  • si il limite è quello,si li ho studiati,mi consigli di non fermarmi al primo ordine??e sviluppare il sin al secondo ordine insieme all esponenziale??

     

    Risposta di frascatano
  • Aspetta, c'è qualcosa che non mi torna nella traccia. Dalla disuguaglianza fondamentale:

    |\sin(x)|\le |x|

    Segue che:

    \sin(e^{-n})\le e^{-n} definitivamente.

    Questo implica che:

    (\sin(e^{-n})- e^{-n})^n

    non è una funzione ben posta. L'esponenziale pretende che la sua base sia maggiore di zero. Ma questo non avviene mai. Sicuro della traccia?

    Risposta di Ifrit
  • scusami ma non mi sono accorto che avevi fatto un errore nel riscrivermi il limite,ovvero il limite è

     

    (sin(e^(-n))-e(^-n))   senza l elevamento a n di nuovo...

     

    Questo moltiplicato tutto per n^4/n

    Risposta di frascatano
  • Ops, mea culpa, mi scuso con te per il disguido Embarassed

    Allora torna tutto, però è necessario sviluppare fino al terzo ordine il seno, perché fermandoci al primo ordine i termini si annullano a vicenda e questo non va bene, ti deve sempre rimanere almeno un termine. Un piccolo trucco.

    Comincia con lo spezzare il limite:

    \lim_{n\to\infty} (\sin(e^{-n})- e^{-n})\lim_{n\to \infty} n^{\frac{4}{n}}

    Il secondo limite si risolve come hai fatto tu, è ok!

    Per il primo limite ecco il trucco:

    Poni e^{-n}= t ed osserva che quando n\to \infty allora t\to 0

    Inoltre sviluppando in serie di Taylor

    \sin(t)-t=-\frac{t^3}{6}+o(t^3)

    Riesci a continuare? :)

    [Edit]: ovviamente il limite è zero, ma il tuo procedimento non può essere accettato, proprio per ciò che ho detto all'inizio

    Risposta di Ifrit
  • Quindi il sin(e^(-x)) lo sviluppo al terzo ordine è questo giusto?? 

     

    (x^2/2 - x)·COS(1) + (x^3/2 - x^2/2 + 1)·SIN(1) e poi credo di essermi perso??

    Risposta di frascatano
  • Quindi il sin(e^(-x)) lo sviluppo al terzo ordine è questo giusto?? 

     

    (x^2/2 - x)·COS(1) + (x^3/2 - x^2/2 + 1)·SIN(1) e poi credo di essermi perso??

    Risposta di frascatano
  • o devo fare il polinomio di teylor dell e^(-x) mi fermo al terzo grado e so che -x^3/6.

     

    Quindi scrivo ((-x^3)/6+ e^(-n)) boh........

     

    Risposta di frascatano
  • credo di aver capito allora:

     

    - e^(-n)=t

     

    Quindi sin(t)=t-t^3/6

     

    Quindi il mio limite diventa (e^(-n)-(e^(-3n))/6-e^(-n)) facendo i calcoli mi rimane solo (e^(-3n))/6 che per n che tende a piu infinito  fa 1/6e^(3n) e questo fa zero.......

    Risposta di frascatano
  • Ok, allora, come ti suggerivo pocanzi è cosa buona e giusta porre:

    e^{-n}= t

    In questo modo:

    \sin(e^{-n})=\sin(t)

    Quando n tende a più infinito allora t tende a zero, grazie a questo barbatrucco possiamo ricondurci allo sviluppo di Taylor McLaurin notevole del seno.

    \sin(t)= t- \frac{t^3}{6}+o(t^3) per t che tende a zero

    A questo punto, potremmo sostituire all'indietro:

    \sin(e^{-n})= e^{-n}-\frac{(e^{-n})^3}{6}+ o(e^{-3n}) per n che tende a più infinito

    Da quest'ultimo segue anche che:

    \sin(e^{-n})- e^{-n}= -\frac{e^{-3n}}{6}+o (e^{-3n})

    Da ciò segue che:

    \lim_{n\to \infty} \sin(e^{-n})- e^{-n}= \lim_{n\to \infty} -\frac{e^{-3n}}{6}= 0

     

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • Esatto!! Non avevo visto la tua risposta e scusami per il pollice verso, il mio intento era quello di mettere il thumb up xD

    Risposta di Ifrit
  • grazie.....allora quando ho un limite ,dove si annulla come in questo caso,mi conviene usare teylor....... Oppure ci sono altri casi in cui bisogna usare teylor?? ad esempio se per puro caso avessi il limite di n che tende a zero di ((e^(4x-x^2)-1)*sin(x+4x^2)-4x^2)/x^3, perche qui devo usare teylor all esponenziale e fermarmi al secondo grado??

     

     

    Risposta di frascatano
  • Mi spiace, per questioni di regolamento e di ordine devo chiederti di aprire un'altra domanda. Sarò io stesso a risponderti :)

    Risposta di Ifrit
  • anzi al terzo grado??

     

     

    Risposta di frascatano
  • Sì ti devi fermare al terzo ordine, se hai necessità però apri un'ulteriore domanda dopo aver accettato la risposta che t'ho dato :)

     

    E' una questione di regolamento, e i miei principali mi bannano se non lo faccio rispettare Laughing 

    Risposta di Ifrit
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