Dominio di funzione sotto radice con coseno di un rapporto

Question

Devo determinare il dominio di una funzione sotto radice, con il coseno di un rapporto. Potreste spiegarmi come procedere, quali condizioni imporre per trovare il campo di esistenza e come risolverlo?

f(x) = √(cos((2x^2-1)/(x^2+1)))

Grazie mille

Redazione di YouMath · Accepted Answer

La funzione è: f(x) = √(cos((2x^2-1)/(x^2+1))) Dobbiamo imporre due consizioni: x^2+1 ne 0& c. esistenza (2x^2-1)/(x^2+1) ; cos((2x^2-1)/(x^2+1)) ≥ 0&c. realtà della radice quadrata la prima condizione è sempre soddisfatta, non crea problemi quindi. Quella che rende difficile la trattazione del dominio è appunto la seconda condizione. In particolare dobbiamo imporre che (π)/(2)(4n  -1) ≤ (2x^2-1)/(x^2+1) ≤ (π)/(2)(4n+1) n∈Z A questo punto diventa assai complicato studiare il dominio di quella funzione al variare di n. Però non ci scoraggiamo. Fissiamo n = 0, la precedente catena di disequazioni diventa:-(π)/(2) ≤ (2x^2-1)/(x^2+1) ≤ (π)/(2) che è equivalente al sistema: -(π)/(2) ≤ (2x^2-1)/(x^2+1) ; (2x^2-1)/(x^2+1) ≤ (π)/(2) Risolviamo la prima disequazione:-(π)/(2) ≤ (2x^2-1)/(x^2+1) (2x^2-1)/(x^2+1)+(π)/(2) ≥ 0 Minimo comune multiplo: (4x^2-2+π x^2+π)/(2(x^2+2)) ≥ 0 Osserva che il denominatore non influisce sul segno della disequazione, l'elemento che ha ruolo predominante è il numeratore: (4+π)x^2+π-2 ≥ 0 ⇒ x^2 ≥ (-π+2)/(4+π) In questo caso la disequazione è sempre soddisfatta visto che al primo membro abbiamo un quadrato (quindi non negativo) al secondo membro abbiamo un numero negativo.  L'insieme soluzione della prima disequazione è S_1 = R   Consideriamo ora la seconda disequazione: (2x^2-1)/(x^2+1) ≤ (π)/(2) ⇒ ((4-π)x^2-2-π)/(2(x^2+1)) ≤ 0 Il denominatore è sempre positivo quindi come prima non influisce. Il numeratore ha il ruolo importante: (4-π)x^2-2-π ≤ 0 ⇒ (4-π)x^2 ≤ 2+π Da cui: x^2 ≤ (2+π)/(4-π) La soluzione è:-√((2+π)/(4-π)) ≤ x ≤ √((2+π)/(4-π))   Osservando inoltre che-1 ≤ (2x^2-1)/(x^2+1)< 2 (lo puoi mostrare con uno studio di funzione) allora il dominio della funzione originaria è effettivamente:-√((2+π)/(4-π)) ≤ x ≤ √((2+π)/(4-π))

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