Soluzioni
  • Ciao peppe30 il tempo di pensarci e sono da te :)

    Risposta di Ifrit
  • ok ;) ti ringrazio

     

    Risposta di peppe30
  • La funzione è:

    f(x)= \sqrt{\cos\left(\frac{2x^2-1}{x^2+1}\right)}

    Dobbiamo imporre due consizioni:

    \begin{cases}x^2+1\ne 0&\mbox{ c. esistenza} \frac{2x^2-1}{x^2+1}\\ \cos\left(\frac{2x^2-1}{x^2+1}\right)\ge 0&\mbox{c. realtà della radice quadrata}\end{cases}

    la prima condizione è sempre soddisfatta, non crea problemi quindi.

    Quella che rende difficile la trattazione del dominio è appunto la seconda condizione.

    In particolare dobbiamo imporre che

    \frac{\pi}{2}(4n  -1)\le \frac{2x^2-1}{x^2+1}\le \frac{\pi}{2}(4n+1)\quad n\in\mathbb{Z}

    A questo punto diventa assai complicato studiare il dominio di quella funzione al variare di n. Però non ci scoraggiamo. Fissiamo n=0, la precedente catena di disequazioni diventa:

    -\frac{\pi}{2}\le \frac{2x^2-1}{x^2+1}\le \frac{\pi}{2}

    che è equivalente al sistema:

    \begin{cases}-\frac{\pi}{2}\le \frac{2x^2-1}{x^2+1}\\ \frac{2x^2-1}{x^2+1}\le \frac{\pi}{2}\end{cases}

    Risolviamo la prima disequazione:

    -\frac{\pi}{2}\le \frac{2x^2-1}{x^2+1}

    \frac{2x^2-1}{x^2+1}+\frac{\pi}{2}\ge 0

    Minimo comune multiplo:

    \frac{4x^2-2+\pi x^2+\pi}{2(x^2+2)}\ge 0

    Osserva che il denominatore non influisce sul segno della disequazione, l'elemento che ha ruolo predominante è il numeratore:

    (4+\pi)x^2+\pi-2\ge0\implies x^2\ge \frac{-\pi+2}{4+\pi}

    In questo caso la disequazione è sempre soddisfatta visto che al primo membro abbiamo un quadrato (quindi non negativo) al secondo membro abbiamo un numero negativo. 

    L'insieme soluzione della prima disequazione è S_1= \mathbb{R}

     

    Consideriamo ora la seconda disequazione:

    \frac{2x^2-1}{x^2+1}\le \frac{\pi}{2}\implies \frac{(4-\pi)x^2-2-\pi}{2(x^2+1)}\le 0

    Il denominatore è sempre positivo quindi come prima non influisce.

    Il numeratore ha il ruolo importante:

    (4-\pi)x^2-2-\pi\le 0\implies (4-\pi)x^2\le 2+\pi

    Da cui:

    x^2\le \frac{2+\pi}{4-\pi}

    La soluzione è:

    -\sqrt{\frac{2+\pi}{4-\pi}}\le x\le \sqrt{\frac{2+\pi}{4-\pi}}

     

    Osservando inoltre che -1\le\frac{2x^2-1}{x^2+1}< 2 (lo puoi mostrare con uno studio di funzione) allora il dominio della funzione originaria è effettivamente:

    -\sqrt{\frac{2+\pi}{4-\pi}}\le x\le \sqrt{\frac{2+\pi}{4-\pi}}

     

    Risposta di Ifrit
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi