Soluzioni
  • Ciao Volpi, arrivo a risponderti. Wink Oggi deve essere la giornata nazionale degli esercizi lunghissimi, ad ogni modo lo studio di funzione lo effettueremo in una nuova domanda, non appena risolta questa (dal regolamento, punto 6)).

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • D'accordo

     

    Risposta di Volpi
  • Eccoci. Consideriamo la funzione

    f(x)=x^x

    Vediamo di risolvere punto per punto:

    1) si può prolungare f per x=0 con continuità?

    Sì, infatti il limite destro per x\to 0^+ della funzione è finito, il problema è che la funzione non è definita nel punto:

    \lim_{x\to 0^{+}}{x^x}=1

    Per calcolarlo, torna utile una riscrittura equivalente della funzione:

    x^x=e^{\log{(x^x)}}=e^{x\log{(x)}}

    Quindi prolunghiamo la funzione come

    f(x)=\left\{\begin{matrix}x^x&x> 0\\ 1&x=0\end{matrix}

    ed eliminiamo in questo modo la discontinuità di terza specie. La funzione è prolungabile da destra.

    2)se si, tale prolungamento è derivabile?

    No, perché non esiste il limite destro per x\to 0^{+} del rapporto incrementale.

    3)valgono le ipotesi di Rolle in [0,1]?

    Se si considera la funzione prolungata per continuità, si può applicare, infatti sono garantite sia la continuità su [0,1], sia la derivabilità su (0,1) (estremi esclusi), sia la coincidenza delle immagini della funzione agli estremi dell'intervallo.

    4) Studiare f e tracciare il grafico qualitativo

    Nuova domanda Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi