esercizio su una funzione

Eccoci. Consideriamo la funzione

Vediamo di risolvere punto per punto:

1) si può prolungare f per x=0 con continuità?

Sì, infatti il limite destro per della funzione è finito, il problema è che la funzione non è definita nel punto:

Per calcolarlo, torna utile una riscrittura equivalente della funzione:

Quindi prolunghiamo la funzione come

ed eliminiamo in questo modo la discontinuità di terza specie. La funzione è prolungabile da destra.

2)se si, tale prolungamento è derivabile?

No, perché non esiste il limite destro per del rapporto incrementale.

3)valgono le ipotesi di Rolle in [0,1]?

Se si considera la funzione prolungata per continuità, si può applicare, infatti sono garantite sia la continuità su , sia la derivabilità su (estremi esclusi), sia la coincidenza delle immagini della funzione agli estremi dell'intervallo.

4) Studiare f e tracciare il grafico qualitativo

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