Base e dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema matriciale

Question

Sono alle prese con un esercizio di Algebra Lineare che chiede di calcolare una base e la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare e omogeneo assegnato in forma matriciale. Sareste così gentili da aiutarmi e spiegarmi il procedimento? Calcolare la dimensione e una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax = 0, dove A è la seguente matrice: A = [1 1 3 0 ; 2 1 2 3]

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Disponiamo della matrice A ∈ Mat(2,4,R) A = [1 1 3 0 ; 2 1 2 3] e dobbiamo calcolare la dimensione e una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0. La prima cosa da fare è scrivere il sistema in forma estesa. x è un vettore di incognite, e affinché il prodotto matriciale Ax sia eseguibile x deve essere una matrice colonna con 4 righe, ossia x = [x_1 ; x_2 ; x_3 ; x_4] Il risultato del prodotto è una matrice 2×1, per cui 0 = [0 ; 0] Alla luce di ciò il sistema matriciale Ax = 0 equivale a [1 1 3 0 ; 2 1 2 3] [x_1 ; x_2 ; x_3 ; x_4] = [0 ; 0] e quindi la sua forma normale è x_1+x_2+3x_3 = 0 ; 2x_1+x_2+2x_3+3x_4 = 0 Detto S lo spazio delle soluzioni, la dimensione di S è uguale alla differenza tra il numero delle incognite (che sono 4) e il rango della matrice A. Calcoliamolo con il metodo di eliminazione di Gauss, che faciliterà la successiva risoluzione del sistema. Sostituiamo la seconda riga di A con la seguente combinazione ; R_2 → -2R_1+R_2 = [-2 -2 -6 0]+[2 1 2 3] = [0 -1 -4 3] e otteniamo la matrice a gradini A' = [1 1 3 0 ; 0 -1 -4 3] che ha due pivot; di conseguenza il rango di A è 2 e quindi dim(S) = 4-2 = 2 Per calcolare una base di S è sufficiente determinare le soluzioni del sistema e riportarle come combinazione lineare avente per coefficienti i parametri liberi. Scriviamo il sistema, equivalente a quello dato, la cui matrice associata è A' e assegniamo alle incognite che non corrispondono ai pivot, cioè a x_3 e a x_4, il ruolo di parametro libero x_1+x_2+3x_3 = 0 ;-x_2-4x_3+3x_4 = 0 ; x_3 = a ; x_4 = b con a,b ∈ R Sostituiamo x_3 e x_4 nelle prime due equazioni x_1+x_2+3a = 0 ;-x_2-4a+3b = 0 ; x_3 = a ; x_4 = b → x_1 = -x_2-3a ; x_2 = -4a+3b ; x_3 = a ; x_4 = b Sostituiamo x_2 nella prima equazione e ci siamo! x_1 = -x_2-3a = 4a-3b-3a = a-3b ; x_2 = -4a+3b ; x_3 = a ; x_4 = b Le soluzioni del sistema sono ; (x_1,x_2,x_3,x_4) = (a-3b, -4a+3b, a, b) = a(1,-4,1,0)+b(-3,3,0,1) e quindi una base di S è mathcalB_(S) = (1,-4,1,0), (-3,3,0,1)