Soluzioni
  • Disponiamo della matrice A \in Mat(2,4,\mathbb{R})

    A=\begin{pmatrix}1&1&3&0 \\ 2&1&2&3\end{pmatrix}

    e dobbiamo calcolare la dimensione e una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}.

    La prima cosa da fare è scrivere il sistema in forma estesa. \mathbf{x} è un vettore di incognite, e affinché il prodotto matriciale A\mathbf{x} sia eseguibile \mathbf{x} deve essere una matrice colonna con 4 righe, ossia

    \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}

    Il risultato del prodotto è una matrice 2 \times 1, per cui

    \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}

    Alla luce di ciò il sistema matriciale A\mathbf{x}=\mathbf{0} equivale a

    \begin{pmatrix}1&1&3&0 \\ 2&1&2&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}

    e quindi la sua forma normale è

    \begin{cases}x_1+x_2+3x_3=0 \\ 2x_1+x_2+2x_3+3x_4=0\end{cases}

    Detto S lo spazio delle soluzioni, la dimensione di S è uguale alla differenza tra il numero delle incognite (che sono 4) e il rango della matrice A. Calcoliamolo con il metodo di eliminazione di Gauss, che faciliterà la successiva risoluzione del sistema.

    Sostituiamo la seconda riga di A con la seguente combinazione

    \\ R_2 \ \to \ -2R_1+R_2 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-2 & -2 & -6 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&1&2&3\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & -1 & -4 & 3\end{pmatrix}

    e otteniamo la matrice a gradini

    A'=\begin{pmatrix}1&1&3&0 \\ 0 & -1 & -4 & 3\end{pmatrix}

     che ha due pivot; di conseguenza il rango di A è 2 e quindi

    \mbox{dim}(S)=4-2=2

    Per calcolare una base di S è sufficiente determinare le soluzioni del sistema e riportarle come combinazione lineare avente per coefficienti i parametri liberi.

    Scriviamo il sistema, equivalente a quello dato, la cui matrice associata è A' e assegniamo alle incognite che non corrispondono ai pivot, cioè a x_3 e a x_4, il ruolo di parametro libero

    \begin{cases}x_1+x_2+3x_3=0 \\ -x_2-4x_3+3x_4=0 \\ x_3=a \\ x_4=b\end{cases} \ \ \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

    Sostituiamo x_3 e x_4 nelle prime due equazioni

    \begin{cases}x_1+x_2+3a=0 \\ -x_2-4a+3b=0 \\ x_3=a \\ x_4=b\end{cases} \ \to \ \begin{cases}x_1=-x_2-3a \\ x_2=-4a+3b \\ x_3=a \\ x_4=b\end{cases}

    Sostituiamo x_2 nella prima equazione e ci siamo!

    \begin{cases}x_1=-x_2-3a=4a-3b-3a=a-3b \\ x_2=-4a+3b \\ x_3=a \\ x_4=b\end{cases}

    Le soluzioni del sistema sono

    \\ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(a-3b, \ -4a+3b, \ a, \ b) = \\ \\ = a(1,-4,1,0) + b(-3,3,0,1)

    e quindi una base di S è

    \mathcal{B}_{S}=\{(1,-4,1,0), \ (-3,3,0,1)\}

    Risposta di Galois
 
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