Soluzioni
  • Consideriamo l'iperbole (mi fido ciecamente sull'equazione):

    9x^2-16y^2=144

    e vediamo di individuare la tangente all'iperbole parallela alla bisettrice del primo-terzo quadrante.

    Per farlo, possiamo già osservare che l'equazione della tangente dovrà essere della forma

    y=x+q

    in quanto deve avere coefficiente angolare m=1.

    Si tratta ora di mettere a sistema l'equazione dell'iperbole con l'equazione generica appena scritta

    \begin{cases}9x^2-16y^2=144\\ y=x+q\end{cases}

    Il sistema fornisce un'equazione di secondo grado in x, della quale dobbiamo richiedere che il discriminante \Deltasia nullo.

    Questo fornirà un'equazione in q: risolvendola troverai, verosimilmente, due valori di q.

    Dovrai scegliere il valore di q che intercetta il punto di tangenza nel primo quadrante, quindi con entrambe le coordinate positive.

    Fatto ciò è sufficiente determinare le intersezioni della tangente appena trovata con gli asintoti dell'iperbole, quindi l'equazione della retta tangente va messa a sistema da una parte con l'equazione del primo asintoto e dall'altra con l'equazione del secondo asintoto.

    In particolare, calcolando la distanza dell'intersezione dei due asintoti dalla retta tangente, troverai la misura dell'altezza h del triangolo, mentre calcolando la distanza tra i due punti individuati dalla retta sugli asintoti troverai la misura della base del triangolo. Hai quindi l'area del triangolo.

    Ora non ti resta che ripetere il procedimento usando un'altra tangente, a tua scelta.

    Fatto ciò, devi ottenere un valore d'area pari a quello del triangolo inizialmente determinato.

    Per l'ultimo punto del problema, invece, non ti resta che verificare che le coordinate del punto di tangenza verificano le due equazioni per ascissa e ordinata del punto medio del segmento AB.

    Il problema è veramente lungo! Se dovessi avere problemi nella risoluzione, non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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