Corollario sulle discontinuità e sulle primitive negli integrali
Recita un corollario nel mio libro: sia f una funzione reale definita in un arbitrario intervallo (a,b) ivi derivabile. Sia c in (a,b) un punto di discontinuità per f '. Allora c non può essere punto di discontinuità eliminabile, né di prima specie, né di seconda specie.
Ora: non riesco a capire come è possibile questo! Cioè se io ho una funzione definita in tutto (a,b), la sua derivata ad esempio mi viene fratta e ho un punto di discontinuità dovuto al denominatore di questa derivata! Questo punto di discontinuità per f ' e non per F, non è mica di 3 specie, cioè è un punto di non derivabilità. Non so sono un po' confuso!
Chi me lo può spiegare?
Da questo nascono altre domande...
il mio libro capitoli dopo recita:
esistono funzioni non dotate di primitive (è sufficiente pensare alle funzioni non continue in un punto del loro dominio con discontinuità che non siano di 3° specie, grazie al corollario enunciato da me sopra).
Ora data una funzione, esistono primitive di essa solo se è continua giusto? Ma anche se ha discontinuità di 3 specie? e Perché mai?
Ultima domanda...!
Invece è possibile calcolare l'integrale per Riemann per una funzione che presenta un numero finito di punti di discontinuità? Di tutti i tipi? O bisogna escludere quelli di 2° specie che portano ad un asintoto verticale?
Rispondete se potete ordinatamente a tutte in modo che mi chiarisco finalmente!
Grazie per la disponibilità!
Ciao Gianluca.1992, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Andiamo per passi. Per prima la prima
"recita un corollario nel mio libro"
Corollario di quale teorema?
Namasté!
Risposta di Omega
corollario del teorema
Sia f una funzione reale definita in un arbitrario intervallo (a,b) e derivabile in tutto (ab), eccezion fatta al più per un punto c appartenente ad (a,b),dove però f è continua.
supponiamo che esista il lim x->c+ f'(x)
allora esiste lim x->c+ (f(x)-f(c))/(x-c)
e si ha
lim x->c+ (f(x)-f(c))/(x-c) = lim x->c+ f'(x)
Risposta di gianluca.1992
Pronti, via! Prendi come riferimento la lezione sui punti di discontinuità.
"ora...non riesco a capire come è possibile questo...!cioè se io ho una funzione definità in tutto (a,b), la sua derivata ad esempio mi viene fratta e ho un punto di discontinuità dovuto al denominatore di questa derivata...! questo punto di discontinuità per f' e non per F...non è mica di 3 specie...cioè è un punto di non derivabilità...non so sono un po confuso!"
Attenzione: quando si hanno risultati particolari, ci vogliono esempi particolari per capire meglio il concetto, nel senso che una funzione continua con derivata una funzione fratta, e definita su un intervallo 
tale da contenere un punto che annulla il denominatore non è ovunque derivabile sull'intervallo stesso. La derivata prima, in quel punto, non sarebbe definita!
Prendiamo come esempio di quanto asserito dal corollario la funzione definita così:
La funzione considerata è continua, è derivabile sull'intero asse reale e ammette come derivata
che è discontinua in 
.
Questo esempio calza bene se, e dico se, ho beninteso l'enunciato del tuo corollario
Namasté!
Risposta di Omega
bene bene...ke bella funzione XD
allora...
se cosi costruita come hai detto...
la funzione derivata in x=0 perchè dici che fa 1 se dici ke è discontinua in x=0...
cioè la cioè la f' in 0 ha una discontinuità di terza specie xkè il limite destro e sinistro oscillano da 0 a 2!
come la definisci la derivata in 0...=1 ?
Risposta di gianluca.1992
Ti risulta uno con il rapporto incrementale, vero? Assurdo...bella funzione!
Se puoi chiariscimi gli altri quesiti...grazie ancora...!
Risposta di gianluca.1992
È un esempio canonico...
Non devi usare le regole standard di derivazione, ti basta osservare che soddisfa la definizione di funzione derivabile: i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale devono coincidere...
Namasté!
Risposta di Omega
ok ok!
Risposta di gianluca.1992
Eccoci:
"esistono funzioni non dotate di primitive (è sufficiente pensare alle funzioni non continue in un punto del loro dominio con discontinuità che non siano di 3° specie, grazie al corollario enunciato da me sopra)."
Vero! Un esempio:
"ora data una funzione...esistono primitive di essa solo se è continua giusto?"
Falso, a meno di specificare che la funzione è definita su un intervallo e di considerare discontinuità di prima specie: prendi ad esempio la funzione segno
ammette primitive nel suo dominio, ossia 
: una primitiva è ad esempio
.
D'altra parte, una funzione può ammettere primitiva purché non abbia una discontinuità a salto se definita su un intervallo.
"ma anche se ha discontinuità di 3 specie? E perché mai?"
Proprio perché puoi eliminare la discontinuità: la discontinuità eliminabile in un punto non ha alcun effetto sull'integrale.
"ultima domanda...!
invece è possibile calcolare l'integrale per Riemann per una funzione che presenta un numero finito di punti di discontinuità? Di tutti i tipi? O bisogna escludere quelli di 2° specie che portano ad un asintoto verticale?"
Sì: una funzione è integrabile secondo Riemann anche nell'eventualità in cui abbia un numero finito di punti di discontinuità, a patto che però sia limitata. Quindi va escluso il caso dei punti di discontinuità di seconda specie.
Dai un'occhiata a queste due lezioni, e in particolare alla seconda:
- classi di funzioni integrabili.
Namasté!
Risposta di Omega