Soluzioni
  • Ciao Gianluca.1992, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Andiamo per passi. Per prima la prima Wink

    "recita un corollario nel mio libro"

    Corollario di quale teorema?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • corollario del teorema

     

    Sia f una funzione reale definita in un arbitrario intervallo (a,b) e derivabile in tutto (ab), eccezion fatta al più per un punto c appartenente ad (a,b),dove però f è continua.

    supponiamo che esista il lim x->c+ f'(x)

    allora esiste lim x->c+ (f(x)-f(c))/(x-c)

    e si ha

    lim x->c+ (f(x)-f(c))/(x-c) = lim x->c+ f'(x)

    Risposta di gianluca.1992
  • Pronti, via! Prendi come riferimento la lezione sui punti di discontinuità.

    "ora...non riesco a capire come è possibile questo...!cioè se io ho una funzione definità in tutto (a,b), la sua derivata ad esempio mi viene fratta e ho un punto di discontinuità dovuto al denominatore di questa derivata...! questo punto di discontinuità per f' e non per F...non è mica di 3 specie...cioè è un punto di non derivabilità...non so sono un po confuso!"

    Attenzione: quando si hanno risultati particolari, ci vogliono esempi particolari per capire meglio il concetto, nel senso che una funzione continua con derivata una funzione fratta, e definita su un intervallo (a,b) tale da contenere un punto che annulla il denominatore non è ovunque derivabile sull'intervallo stesso. La derivata prima, in quel punto, non sarebbe definita!

    Prendiamo come esempio di quanto asserito dal corollario la funzione definita così:

    f(x)=\left\{\begin{matrix}x+x^2\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}& x\neq 0\\ 0&x=0\end{matrix}

    La funzione considerata è continua, è derivabile sull'intero asse reale e ammette come derivata

    f(x)=\left\{\begin{matrix}1+2x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}-\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}& x\neq 0\\ 1&x=0\end{matrix}

    che è discontinua in x=0.

    Questo esempio calza bene se, e dico se, ho beninteso l'enunciato del tuo corollario

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • bene bene...ke bella funzione XD

    allora...

    se cosi costruita come hai detto...

     la funzione derivata in x=0 perchè dici che fa 1 se dici ke è discontinua in x=0...

    cioè la cioè la f' in 0 ha una discontinuità di terza specie xkè il limite destro e sinistro oscillano da 0 a 2!

    come la definisci la derivata in 0...=1 ?

    Risposta di gianluca.1992
  • Ti risulta uno con il rapporto incrementale, vero? Assurdo...bella funzione! 

    Se puoi chiariscimi gli altri quesiti...grazie ancora...!

    Risposta di gianluca.1992
  • È un esempio canonico...Laughing

    Non devi usare le regole standard di derivazione, ti basta osservare che soddisfa la definizione di funzione derivabile: i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale devono coincidere...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok ok! Laughing

    Risposta di gianluca.1992
  • Eccoci:

    "esistono funzioni non dotate di primitive (è sufficiente pensare alle funzioni non continue in un punto del loro dominio con discontinuità che non siano di 3° specie, grazie al corollario enunciato da me sopra)."

    Vero! Un esempio:

    f(x)=\frac{\tan{(x)}}{x}

    "ora data una funzione...esistono primitive di essa solo se è continua giusto?"

    Falso,  a meno di specificare che la funzione è definita su un intervallo e di considerare discontinuità di prima specie: prendi ad esempio la funzione segno

    \frac{x}{|x|}

    ammette primitive nel suo dominio, ossia \mathbb{R}-\{0\}: una primitiva è ad esempio

    -x se x<0

    +x se x>0.

    D'altra parte, una funzione può ammettere primitiva purché non abbia una discontinuità a salto se definita su un intervallo. 

    "ma anche se ha discontinuità di 3 specie? E perché mai?"

    Proprio perché puoi eliminare la discontinuità: la discontinuità eliminabile in un punto non ha alcun effetto sull'integrale.

    "ultima domanda...!

    invece è possibile calcolare l'integrale per Riemann per una funzione che presenta un numero finito di punti di discontinuità? Di tutti i tipi? O bisogna escludere quelli di 2° specie che portano ad un asintoto verticale?"

    Sì: una funzione è integrabile secondo Riemann anche nell'eventualità in cui abbia un numero finito di punti di discontinuità, a patto che però sia limitata. Quindi va escluso il caso dei punti di discontinuità di seconda specie.

    Dai un'occhiata a queste due lezioni, e in particolare alla seconda:

    - funzione integrabile;

    - classi di funzioni integrabili.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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