Soluzioni
  • Iniziamo con i dati, e - suggerimento - con le formule sui triangoli rettangoli 

    \begin{cases}AB= 8\\ BC=10 HP= x\end{cases}

    Per questioni geometriche abbiamo che il poligono HPKA è un rettangolo, pertanto segue che:

    AK= HP=x e AH= KP

    Calcoliamoci il cateto AC tramite il teorema di Pitagora applicato al triangolo ABC:

    AC= \sqrt{BC^2- AB^2}= \sqrt{100-64}= \sqrt{36}= 6

    Osserviamo inoltre che il triangolo BKP è simile al triangolo BAC, poichè hanno due angoli congruenti, be consegue che:

    BK: KP= AB:AC

    quindi

    \frac{BK}{KP}= \frac{8}{6}\implies BK= \frac{4}{3}KP\implies KP= \frac{3}{4}BK

    Adesso dobbiamo fare in modo che KP sia espresso in funzione di x. Ma è evidente che:

    AK=x\implies BK= AB-x= 8-x dunque:

    KP= \frac{3}{4}(AB-x)= \frac{3}{4}(8-x)

    Sempre per la similitudine dei due triangoli vale la seguente proporzione

    BP:BK= BC:AB

    BP= \frac{10}{8} BK= \frac{10}{8}(8-x)

    Benissimo abbiamo gli ingredienti per poter risolvere il problema.

    P_{BPK}= BP+PK+KB=\frac{10}{8}(8-x)+\frac{3}{4}(8-x)+8-x=

    = \frac{10(8-x)+6(8-x)+8(8-x)}{8}= \frac{24}{8}(8-x)= 3(8-x)

    Il perimetro del rettangolo è:

    P_{AKPH}= 2x+2 KP= 2x+16-2x= 16

    P_{AKPH}< 2 P_{BPK}

    16<6(8-x)

    \frac{16}{6}<8-x

    \frac{16}{6}-8<-x

    -\frac{16}{3}<-x\implies x>\frac{16}{3}

    Fine! :)

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra