Soluzioni
  • scusate mi sono sbagliato a scrivere V.

    V: (x2+y2<=z; x2+y2+z2=0)

    Risposta di Danielenonlasà
  • Ciao Danielenonlasà, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • non capisco perchè scrivo una cosa e ne ritorna un'altra..

    V: (x quadro+ y quadro minoreuguale z; x quadro+ y quadro+ z quadro minoreuguale 2; z maggioreuguale 0)

     

    Risposta di Danielenonlasà
  • ok adesso è giustoLaughing

    Risposta di Danielenonlasà
  • Suppongo che ci siano problemi di formattazione, ad ogni modo: nessun problema! Wink

    Il dominio di integrazione è

    V=\left{x^2+y^2\leq z \wedge x^2+y^2+z^2\leq 2 \wedge z\geq 0\right}

    e l'integrale triplo è

    \int\int\int{\frac{x-y+z}{1+x^2+y^2}dxdydz}

    Proviamo a calcolare l'integrale passando ad un sistema di coordinate cilindriche:

    x=\rho \cos{(\theta)}

    y=\rho \sin{(\theta)}

    z=z

    Dobbiamo tenere conto dello Jacobiano della trasformazione:

    dxdydz\to \rho d\rho d\theta dz

    Mentre l'insieme di integrazione diventa, nel nuovo sistema di coordinate

    \left{\rho\leq z \wedge \rho^2+z^2\leq 2 \wedge z\geq 0\right}

    e l'integrale assume la forma

    \int\int\int{\frac{\rho(\sin{(\theta)}-\cos{(\theta)})+z}{1+\rho^2}\rho d\rho d\theta dz}

    L'integrale non è breve. Se fin qui è tutto a posto, mi metto or ora a risolverlo...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • perfetto puoi andare avantiWink

    Risposta di Danielenonlasà
  • I conti non sono semplici, ho appena finito di svolgerli a mano. Ma credo che la traccia da seguire sia questa:

    1) Integrare rispetto a \theta su [0,2\pi]dopo aver spezzato l'integranda nella somma di due funzioni, la prima contenente il seno ed il coseno;

    2) Integrando rispetto a \theta l'integrale del primo addendo si annulla. Rimane il secondo.

    3) Sul secondo conviene effettuare un nuovo cambiamento di coordinate, e passare ad un sistema di coordinate polari

    \rho=r\cos{(t)}

    z=r\sin{(t)}

    Questo permette di semplificare di molto l'insieme di integrazione, che ormai è in due variabili.

    Se non riesci a procedere in questo modo, fammi sapere che posto tutti i calcoli

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • scusa la mia ignoranza e per la perdita di tempo ma sarebbe mooooolto meglio se mi potessi scrivere i calcoliCry Ti ringrazio molto

    Risposta di Danielenonlasà
  • Figurati, provvedo subito: ho preferito buttarti giù il metodo prima e poi eventualmente postare i calcoli perché non ci piace che i nostri utenti sospettino di essere "snobbati" Wink

    In arrivo i calcoli ...

    Risposta di Omega
  • Eccoci: prima di tutto integriamo rispetto a \theta, troviamo

    \int_{0}^{2\pi}{\frac{\rho}{1+\rho^2}(\sin{(\theta)}-\cos{(\theta)})d\theta}+\int_{0}^{2\pi}{\frac{z}{1+\rho^2}d\theta}=0+\frac{2\pi z}{1+\rho^2}

    Ora il problema riguarda il dominio su cui integrare:

    \rho^2+\theta^2\leq 2

    z\geq 0

    \rho\leq z

    Facendo i conti passare ad un sistema di coordinate polari semplifica sì il dominio ma complica l'integrale. Meglio lavorare sul dominio così come e ricavarsi gli estremi di integrazione. In particolare, possiamo riscrivere le condizioni che definiscono il dominio come

    -\sqrt{z^2-1}\leq \rho\leq z

    per 0\leq z\leq 1

    e

    -\sqrt{z^2-1}\leq \rho\leq \sqrt{z^2-1}

    per 1\leq z\leq \sqrt{2}

    A questo punto integrare è una sciocchezza, la difficoltà nei calcoli riguarda solamente il dominio. Non resta che spezzare l'integrale nella somma riferita agli estremi di integrazione quando si integra rispetto a z. Prima, naturalmente, bisogna integrare rispetto a \rho.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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