Soluzioni
  • Ciao danilo il tempo di pensarci e sono da te :)

    Risposta di Ifrit
  • Calcoliamo l'integrale per sostituzione:

    \int x\sqrt{1-x^2}dx

    Poniamo t= 1-x^2\implies dt= -2xdx

    Nell'integrale originario abbiamo xdx, mentre il dt è -2xdx, poco male, per ricondurci al dt, moltiplichiamo e dividiamo per -2 la funzione integranda originale:

    \int \sqrt{1-x^2}\,\, \left(\frac{-2}{-2}\right)x dx=

    -\frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^2} (-2)xdx

    Adesso possiamo sostituire tranquillamente:

    -\frac{1}{2}\int \sqrt{t} dt= -\frac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}}dt

    Ricordando la formula di integrazione:

    \int x^\alpha dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad\mbox{ con }\alpha\ne 0

    allora

     -\frac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}}dt= -\frac{1}{2}\,\,\, \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+C=

    -\frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}}+C

    Ma t=1-x^2

    Sostituendo nuovamente hai:

    \int x\sqrt{1-x^2}dx= -\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C\mbox{ con } C\in \mathbb{R}

    Risposta di Ifrit
 
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