Dominio di integrazione semplice rispetto asse x e y?

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Salve,

non riesco a capire come il seguente dominio di integrazione semplice rispetto ad x

(x,y)€ R2 :  -1 ≤ x ≤ √(1-y2)

 

si possa scrivere semplice rispetto a y

grazie

Domanda di Danilo

 
Soluzioni

  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega

  • ho sbagliato a scrivere l insieme

     

    -1 ≤ x ≤ 1   0 ≤ x ≤ √ ( 1 - y2)

    Risposta di Danilo

  • Ho visto la segnalazione d'errore nel testo della domanda: l'insieme è dunque

    0 ≤ x ≤ 1 - √ ( 1 - x^2) ≤ y ≤ √ ( 1 - x^2)

    Che, riscritto in LaTeX, è

    0 ≤ x ≤ 1 e -√(1-x^2) ≤ y ≤ √(1-x^2)

    Ora ci siamo :)

    Penso che un passaggio alle coordinate polari possa risolvere l'inghippo brillantemente:

    x = ρcos(θ)

    y = ρsin(θ)

    In alternativa, è sufficiente osservare (per evitare di fare calcoli e cadere in errore) che la circonferenza unitaria di centro (0,0) ha equazione

    x^2+y^2 = 1

    e se ci ricaviamo la y in funzione di x

    {tex}y^2=1-x^2{/tex

    di conseguenza

    -√(1-x^2) ≤ y ≤ √(1-x^2)

    indica la regione del semicerchio unitario

    0 ≤ x ≤ 1

    contenuto nel primo-quarto quadrante.

    In coordinate polari:

    ρ∈ [0,1]

    θ∈ [-(π)/(2),(π)/(2)]

    se devi integrare, non dimenticarti lo Jacobiano della trasformazione! Wink

    dxdy → ρ dρ dθ

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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