Soluzioni
  • Intanto consideriamo la prima retta, che è data dall'intersezione dei due piani descritti dalle equazioni:

    x+y+z=1

    2x +y+3z=4

    Consideriamone i parametri direttori: il primo piano ha parametri direttori (1,1,1), mentre il secondo (2,1,3). In entrambi i casi, i parametri direttori descrivono la direzione di una qualsiasi retta ortogonale al corrispondente piano.

    Il prodotto vettoriale delle due direzioni fornisce la direzione della retta:

    (1,1,1)\times (2,1,3)=(2,-1,-1)

     

    Nel caso della seconda retta

    \frac{2x-1}{4} = -y+1 = -z

    che diventa banalmente

    \frac{2x-1}{4} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{-1}

    Dobbiamo togliere quel 2 davanti alla x: lavorando solamente sul primo membro, raccogliamo un 2 a numeratore

    \frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}{4} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{-1}

    e poi lo portiamo a denominatore

    \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{4}{2}} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{-1}

    cioè

    \frac{x-\frac{1}{2}}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{-1}

    e quindi la retta ha direzione parallela alla direzione (2,-1,-1), il che ci assicura che le due rette sono complanari!

     

    Alla luce del fatto che le due rette sono parallele (in genere non lo si può sapere a priori, quindi bisogna tentare la strada del prodotto vettoriale), ci servono le equazioni parametriche delle due rette.

    Prima: se le due rette non fossero state parallele, avremmo potuto calcolare il prodotto vettoriale delle due direzioni (non prima di aver verificato che fossero complanari) ed individuare in questo modo la direzione ortogonale ad entrambe: il risultato del prodotto vettoriale. Avremmo così ottenuto una direzione che avrebbe automaticamente individuato l'equazuione cartesiana del piano: infatti la direzione normale ad entrambe le rette ha come componenti i parametri direttori del piano.

    Dato che non è questo il nostro caso, ricaviamoci le equazioni parametriche delle due rette. Nel caso della seconda retta, è un gioco da ragazzi proprio grazie alla formula che abbiamo visto poche righe sopra:

    r_2=P+tv

    ossia

    r_2=\left(-\frac{1}{2},-1,0\right)^T+t(2,-1,-1)^T

    cioè

    x=-\frac{1}{2}+2t

    y=-1-t

    z=-t

    Torniamo alla prima retta, ed assegnamo ad una variabile, ad esempio a z, il ruolo di parametro: z=t. Poi sostituiamo la prima equazione con la differenza della seconda equazione con la prima

    x+2z=3

    2x+y+3z=4

    ossia

    x=3-2t

    2(3-2t)+y+3t=4

    z=t

    ossia

    x=3-2t

    y=-2+t

    z=t

    Ora prendiamo un punto per ciascuna retta, per semplicità quelli individuati dal parametro t=0, e calcoliamo la direzione che li congiunge

    P_1=\left(3,-2,0\right)\mbox{, }P_2=\left(-\frac{1}{2},-1,0\right)

    dunque calcoliamo la direzione

    w=P_1-P_2=\left(\frac{7}{2},-1,0\right)

    e calcolando il prodotto vettoriale v\times w otteniamo la direzione di una qualsiasi normale alle due rette, cioè al piano che le contiene:

    v\times w=\left(-1,-\frac{7}{2},\frac{3}{2}\right)

    Il piano che contiene le due rette ha equazione

    -x-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}z+d=0

    Per ricavare d imponiamo il passaggio per uno dei due punti della retta, ad esempio \left(3,-2,0\right) e troviamo

    -3+7+0+d=0

    cioè

    d=-4

    Abbiamo finito. Il piano cercato ha equazione

    -x-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}z-4=0

    Se dovessi avere dei dubbi non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • non  mi torna la sostituzione di quando, facciamo....

    -sostituiamo la prima equazione con la differenza della seconda equazione della prima

    -quando calcoliamo la direzione w

    - e quando calcoliamo d perchè imponiamo il passaggio per (3, -2,0)

    Risposta di lolloviola
  • Anche qui, andiamo con ordine :)

    "sostituiamo la prima equazione con la differenza della seconda equazione della prima"

    Dall'algebra lineare, dato un sistema lineare di equazioni puoi sostituire una qualsiasi equazione con una combinazione lineare delle altre, e ottenere un sistema equivalente. Vale a dire

    Equazione-1

    ...

    Equazione-i

    ...

    Equazione-N

    Allora puoi sostituire la i-esima equazione con

    a_1 (Equazione-1)+...+a_i (Equazione-i)+...+a_N (Equazione-N)

    e ottenere un sistema lineare equivalente

    Equazione-1

    ...

    a_1 (Equazione-1)+...+a_i (Equazione-i)+...+a_N (Equazione-N)

    ...

    Equazione-N

    Questa tecnica viene adottata spessisimo per semplificare i calcoli. Una delle sue applicazioni, giusto per fare ad esempio, consiste nella riduzione di una matrice di un sistema lineare nella sua forma a scala.

    "quando calcoliamo la direzione w"

    Una direzione è per definizione un vettore. Calcolando la differenza delle coordinate di due punti nello spazio, ottieni la direzione (a prescindere dal verso)  che punta da un punto all'altro (perdona il bisticcio di parole...)

    "e quando calcoliamo d perchè imponiamo il passaggio per (3, -2,0)"

    Il punto l'ho scelto a capocchia per determinare il quarto coefficiente che individua il piano: ho semlicemente preso un punto appartenente alla prima retta e ho imposto la condizione di passaggio del piano per tale punto. Cioè: le coordinate del punto devono verificare l'equazione del piano. Ed è legittimo, perché se la retta appartiene al piano, allora uno qualsiasi dei suoi punti deve appartenere al piano.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Tutto chiarissimo, sei stato molto gentile :) grazie ancora!!!

    Risposta di lolloviola
 
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