Soluzioni
  • Ciao Neumann, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Il primo sospetto che ci fosse un numero strano che poteva tornare utile, veramente utile, dilettandosi nello studio dei logaritmi è venuto al signor Napier, o Nepero che dir si voglia.

    Le prime notizie, o meglio le prime necessità riguardanti il numero di Nepero e derivano dal

    \lim_{n\to \infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}

    ci si è imbattuto, un giorno, uno degli N Bernoulli, mentre camminava per strada. Avrà pensato: "Ohibò, mi risulta che l'umanità non sia a conoscenza dell'esistenza di questa costante fondamentale. Sarebbe il caso di darne notizia!"

    Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ma si potrebbe costruire una teoria totalmente asettica anche se fosse stato definito tramite il secondo limite o il primo limite entra in qualche modo nelle dimostrazioni che precedono il secondo?

    Risposta di Neumann
  • Gran bella domanda! :)

    Il punto è che il numero di Nepero è imprescindibilmente legato al logaritmo, ed è anche innegabile che in quel limite notevole compare come base della potenza dell'esponente e. Il problema è che, nelle ipotesi del discorso, non sappiamo neanche chi sia questo fantomatico e.

    Forse, però, c'è un modo di inquadrare la faccenda che permette di arrivarci prescindendo dal risultato storico con cui si è detto: "Acciderbolous, questo numero trascendente deve essere importante!"

    Se consideriamo quel limite notevole con generica base a\in\mathbb{R}, e dunque consideriamo lo sviluppo della funzione

    f(x)\frac{a^x-1}{x}

    in un intorno di 0, dobbiamo prenderne minimo minimo la derivata prima. Il problema è che la derivata prima dell'esponenziale richiede l'utilizzo del logaritmo naturale.

    Continuiamo a non scappare dalla necessità di sapere preventivamente dell'esistenza di e. Ma...

    il tentativo può essere quello di considerare

    \lim_{x\to 0}{\frac{e^x-1}{x}}

    come caso particolare che salta all'occhio nello studio della classe dei limiti

    \lim_{x\to 0}{\frac{a^x-1}{x}}

    al variare della base a\in\mathbb{R}\mbox{ }a>0.

    Noi, se sappiamo dell'esistenza di e, sappiamo anche che

    \lim_{x\to 0}{\frac{a^x-1}{x}}=\ln{(a)}

    Se non sappiamo che e esiste, è lui, è una rock-star Laughing studiando la famigli di limiti potremmo comunque accorgerci che

    \lim_{x\to 0}{\frac{a^x-1}{x}}=cost(a)

    dove cost(a) è una costante dipendente da a. Bene, si potrebbe definire il numero e come quel particolare numero tale per cui

    cost(e)=1

    Questo potrebbe essere un modo di introdurre il numero di Nepero. 

    Ad ogni modo, è un'interpretazione che lascia il tempo che trova, perché ci sono due questioni che ho volontariamente tralasciato:

    1) Come capire che il valore del limite è una costante che dipende dalla base a;

    2) L'analisi è stata effettuata a posteriori: cioè noi sappiamo che quel limite notevole ha come risultato una costante dipendente dalla base a. Qual'è il modo canonico per dimostrarlo? L'utilizzo del limite notevole del logaritmo:

    \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(1+x)}}{x}}=\frac{1}{\ln{(a)}}

    che, guarda un po', a sua volta viene dedotto dal limite notevole

    \lim_{x\to 0}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}=e

    Lascio a te le conclusioni...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • "Ed è anche innegabile che in quel limite notevole compare come base della potenza dell'esponente e"

    Bè, lì si intende quell'unico numero tale che, non si richiede una precedente definizione per esso.

    Poi, per il logaritmo in generale, non basta sapere che è la funzione inversa dell'esponenziale?

    Il teorema di De l'Hopital ci permetterebbe di calcolare

     

     

    Salvo particolari che sto dimenticando.

     

    Oppure si potrebbe provare a definire direttamente l'esponenziale e^x come l'unica funzione che ha come

    l'unica funzione che ha come derivata se stessa. Rimarrebbe solo da dimostrare che esiste ed è unica.

     

     

    Risposta di Neumann
  • Sopra intendo "ci permette di calcolare lim x->0 (1+1/x)^x

    Risposta di Neumann
  • O forse meglio, definire e^x come l'unica "esponenziale" con derivata uguale a se stessa, se no mi imbatterei in casi come e^(x+d).

    Risposta di Neumann
  • MMM, molto probabilmente il problema è nel fatto che per mezzo del primo limite abbiamo una definizione implicita di e, che la rende molto poco maneggevole. Inoltre andrebbe dimostrata l'esistenza e l'unicità di una tale base per l'esponenziale.

    Risposta di Neumann
  • Non mi sono dimenticato di te Wink è che la discussione ha preso una piega filosofica, ergo richiede risposte filosofiche..

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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