Soluzioni
  • Ciao 904 :)

    Il tempo di scrivere una risposta e sono da te! :D

    Risposta di Ifrit
  • Sostanzialmente il principio di induzione è costituito da tre passi fondamentali:

    Passo base, passo induttivo, passo conclusivo. 

    Prima di procedere nella spiegazione però abbiamo bisogno di qualcosa da dimostrare, una proposizione P(n)\quad n\in \mathbb{N}, dipendente dal parametro naturale n.

    Un esempio di proposizione che dipende da n è:

    P(n): \sum_{k=0}^n k= \frac{n(n+1)}{2}\quad\forall n\in \mathbb{N}

    Cerchiamo di mostrarlo:

    Passo base:

    Bisogna verificare che la proposizione è vera per il primo n per cui vale. Nell'esempio che ho riportato, il primo n per cui vale è 0:

    P(0): \sum_{k=0}^0 k = 0= \frac{0*1}{2}.

    Il passo base è verificato.

    A questo punto interviene il passo induttivo:

    Passo induttivo:

    Si suppone che la proposizione P(n) per un certo n naturale è vera:

    Nel nostro caso supponiamo vera 

    P(n): \sum_{k=0}^n k= \frac{n(n+1)}{2}

    Passo conclusivo:

    Questo è il cuore della dimostrazione per induzione.

    Dobbiamo dimostrare che è vera la proposizione P(n+1) facendo uso del passo induttivo. Quindi dobbiamo fare di tutto per ricondurci al passo induttivo, questa è la parte più complessa. :)

    Nel nostro caso quindi dobbiamo mostrare che:

    \sum_{k=0}^{n+1}k =\frac{(n+1)(n+2)}{2}

    Vediamo come operare:

    P(n+1): \sum_{k=0}^{n+1} k= \sum_{k=0}^n k +n+1

    Scrivendo in questo modo la somma  ci siamo ricondotti in qualche modo al passo induttivo, infatti da quest'ultimo sappiamo che:

    \sum_{k=0}^n k= \frac{n(n+1)}{2}

    Sostituiamo:

    \sum_{k=0}^n k +n+1= \frac{n(n+1)}{2}+n+1= \frac{n(n+1)+2n+2}{2}=

    \frac{(n+1)(n+2)}{2} che è quello che volevamo.

     

    Per induzione abbiamo dimostrato che:

    \sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}

    la struttura dell'induzione è tutta qui. :) Se vuoi approfondire con altri esempi (e una spiegazione ancor più dettagliata) vedi qui: principio di induzione.

    Risposta di Ifrit
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