Come dimostrare con il principio di induzione?

Sostanzialmente il principio di induzione è costituito da tre passi fondamentali:

Passo base, passo induttivo, passo conclusivo. 

Prima di procedere nella spiegazione però abbiamo bisogno di qualcosa da dimostrare, una proposizione , dipendente dal parametro naturale n.

Un esempio di proposizione che dipende da n è:

Cerchiamo di mostrarlo:

Passo base:

Bisogna verificare che la proposizione è vera per il primo n per cui vale. Nell'esempio che ho riportato, il primo n per cui vale è 0:

.

Il passo base è verificato.

A questo punto interviene il passo induttivo:

Passo induttivo:

Si suppone che la proposizione per un certo n naturale è vera:

Nel nostro caso supponiamo vera 

Passo conclusivo:

Questo è il cuore della dimostrazione per induzione.

Dobbiamo dimostrare che è vera la proposizione facendo uso del passo induttivo. Quindi dobbiamo fare di tutto per ricondurci al passo induttivo, questa è la parte più complessa. :)

Nel nostro caso quindi dobbiamo mostrare che:

Vediamo come operare:

Scrivendo in questo modo la somma  ci siamo ricondotti in qualche modo al passo induttivo, infatti da quest'ultimo sappiamo che:

Sostituiamo:

che è quello che volevamo.

Per induzione abbiamo dimostrato che:

la struttura dell'induzione è tutta qui. :) Se vuoi approfondire con altri esempi (e una spiegazione ancor più dettagliata) vedi qui: principio di induzione.