Indipendenza lineare con il determinante

Question

Come si studia l'indipendenza lineare tra vettori usando il determinante? Il mio docente, per stabilire se un insieme di vettori è indipendente dispone i vettori in una matrice e va a controllare il determinante; sapreste dirmi il perché? Stabilire, motivando la risposta, se i vettori ; v_1 = (2,1,-1,3) ; v_2 = (1,0,1,2) ; v_3 = (-1,0,2,1) ; v_4 = (3,0,-1,2) sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti.

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Un insieme di vettori di R^n è linearmente indipendente se e solo se la matrice A che ha come righe (o come colonne) i vettori dell'insieme ha rango uguale al numero dei vettori; in caso contrario sono linearmente dipendenti. Nel momento in cui si costruisce A, se è una matrice quadrata, per il criterio dei minori ha rango uguale al numero dei vettori a patto che il suo determinante sia non nullo. Ecco quindi spiegato il motivo per cui, in alcuni casi, si studia l'indipendenza lineare tra vettori ricorrendo al determinante. Premesso ciò, stabiliamo se i vettori ; v_1 = (2,1,-1,3) ; v_2 = (1,0,1,2) ; v_3 = (-1,0,2,1) ; v_4 = (3,0,-1,2) sono linearmente dipendenti o indipendenti. Componiamo la matrice A che li ha per righe A = [2 1 -1 3 ; 1 0 1 2 ;-1 0 2 1 ; 3 0 -1 2] e osserviamo che è una matrice quadrata di ordine 4. Calcoliamone il determinante con Laplace rispetto alla seconda colonna: ; det(A) = det[2 1 -1 3 ; 1 0 1 2 ;-1 0 2 1 ; 3 0 -1 2] = (-1)^(1+2)·1·det[1 1 2 ;-1 2 1 ; 3 -1 2] = A questo punto potremmo applicare la regola di Sarrus o, molto più velocemente, osservare che la terza colonna è la somma delle prime due, cosicché il determinante è nullo = -1·0 = 0 Poiché il determinante di A è uguale a zero il suo rango non è 4, e quindi i vettori v_1, v_2, v_3, v_4 sono linearmente dipendenti tra loro. Ecco fatto!