Soluzioni
  • Un insieme di vettori di \mathbb{R}^n è linearmente indipendente se e solo se la matrice A che ha come righe (o come colonne) i vettori dell'insieme ha rango uguale al numero dei vettori; in caso contrario sono linearmente dipendenti.

    Nel momento in cui si costruisce A, se è una matrice quadrata, per il criterio dei minori ha rango uguale al numero dei vettori a patto che il suo determinante sia non nullo. Ecco quindi spiegato il motivo per cui, in alcuni casi, si studia l'indipendenza lineare tra vettori ricorrendo al determinante.

    Premesso ciò, stabiliamo se i vettori

    \\ \mathbf{v}_1=(2,1,-1,3) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(1,0,1,2) \\ \\ \mathbf{v}_3=(-1,0,2,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(3,0,-1,2)

    sono linearmente dipendenti o indipendenti.

    Componiamo la matrice A che li ha per righe

    A=\begin{pmatrix}2&1&-1&3 \\ 1&0&1&2 \\ -1&0&2&1 \\ 3&0&-1&2\end{pmatrix}

    e osserviamo che è una matrice quadrata di ordine 4. Calcoliamone il determinante con Laplace rispetto alla seconda colonna:

    \\ \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&-1&3 \\ 1&0&1&2 \\ -1&0&2&1 \\ 3&0&-1&2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ =(-1)^{1+2} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&2 \\ -1&2&1 \\ 3&-1&2\end{pmatrix}=

    A questo punto potremmo applicare la regola di Sarrus o, molto più velocemente, osservare che la terza colonna è la somma delle prime due, cosicché il determinante è nullo

    =-1 \cdot 0 =0

    Poiché il determinante di A è uguale a zero il suo rango non è 4, e quindi i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 sono linearmente dipendenti tra loro.

    Ecco fatto!

    Risposta di Galois
 
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