Soluzioni
  • Eccomi ciao Volpi il tempo di scrivere la rispora e sono da te :)

    Risposta di Ifrit
  • \begin{cases}y''-2y'+2y=2x\\ y(0)=0\\ y'(0)=1\end{cases}

    è un problema di Cauchy, in cui compare una equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. 

    Il primo passo da fare è quello di trovare la soluzione della equazione differenziale omogenea associata che chiamerò y_0(x).

    Partiamo quindi! 

    L'equazione omogenea associata è:

    y''-2y'+2y=0

    Consideriamo l'equazione caratteristica:

    \lambda^2-2\lambda+2=0

    Il discriminante è:

    \Delta= 4-8=-4<0

    Le soluzioni dell'equazione è:

    \lambda_1= 1+i

    \lambda_2= 1-i

    Poiché le radici dell'equazione caratteristica sono complesse e coniugate allora la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata è :

    y_0(x)= e^{x}(c_1 \cos(x)+c_2\sin(x))

    dove c_1, c_2 sono costanti reali da determinare grazie alle condizioni iniziali.

    Ora dobbiamo trovare una soluzione particolare della equazione differenziale originaria. In che modo? Io utilizzerò il metodo di somiglianza. 

     

    Poiché abbiamo un polinomio di grado 1 al secondo membro allora, la soluzione particolare sarà della forma:

    y_p(x)= A x+B\quad\quad\quad(1)

    con A e B costanti reali da determinare. Per calcolare A e B, deriviamo due volte (1)

    y_p'(x)= A

    y_p''(x)=0

    Sostituiamo ciò che abbiamo ottenuto nella equazione differenziale originaria:

    0-2A+2Ax+2B= 2x\iff 2Ax+2(-A+B )=2x

    Utilizziamo il principio di identità dei polinomi. Otterremo il seguente sistema:

    \begin{cases}2A= 2\\ 2(-A+B )=0\end{cases}

    Da cui:

    A= 1, B=1

    La soluzione particolare è quindi:

    y_p(x)= x+1

     

    L'integrale generale della equazione differenziale è dato dalla somma della soluzione particolare con la soluzione dell'omogenea, cioè:

    y(x)= y_0(x)+y_p(x)=e^{x}(c_1 \cos(x)+c_2\sin(x))+x+1

    Rimane da determinare le due costanti c_1, c_2.

    Sappiamo che y(x) soddisfa le condizioni iniziali:

    y(0)= 0\implies c_1+1=0\implies c_1=-1

    Inoltre sapendo che

    y'(x)=1+e^x(c_1 \cos(x)+ c_2 \cos(x)-c_1 \sin(x)+c_2 \sin(x))

    y'(0)=1\implies 1+c_1+c_2= 1\implies c_2= 1

    La soluzione del problema di Cauchy è:

    y(x)= x+1+e^x(\sin(x)-\cos(x))

     

    Buone feste :)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille!!!!

    Una curiosità: ma il metodo di somiglianza è sempre applicabile??? o ci sono casi in cui non si può usare?

    Risposta di Volpi
  • Il metodo di somiglianza si può applicare quando hai al secondo membro un polinomio, una esponenziale del tipo e^{\alpha x}, seno o coseno, oppure un prodotto delle funzioni appena enunciate :)

    In base alla funzione "termine noto" esistono dei metodi che ti permettono di giungere alla soluzione. La difficoltà in questo tipo di esercizi è solo mnemonica ;)

    Risposta di Ifrit
 
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