Massimi e minimi di una funzione in R^2
Sia f la funzione definita in R^2 da
f(x,y) = (x^2 + y^2 -1)(x^2 + y^2 - 4).
Se ne studi il segno.
Se ne determinino gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo e assoluto.
Io ho provato inizialmente a porre x = ρcosθ e y = ρsinθ, ottenendo così
f(ρ,θ) = (ρ^2 - 1)(ρ^2 - 4)
....solo che poi non sono più stata capace di proseguire, nè per il primo punto nè per il secondo. 
Grazie mille per l'aiuto!!
Ciao Clara, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
La funzione che proponi è molto simpatica :)
e hai fatto bene a passare in coordinate polari
infatti la funzione si semplifica parecchio nel nuovo sistema di coordinate
Si semplifica così tanto da poter essere trattata, per questioni di simmetria, come una funzione di una sola variabile: 
. La dipendenza dalla variabile 
, infatti, scompare nel nuovo sistema di riferimento.
Ora ci comportiamo proprio come si fa nel caso delle funzioni reali di variabile reale. Per studiare il segno risolviamo la disequazione
cioè
e studiando separatamente il segno dei due fattori troviamo
Quindi confrontando nel solito grafico di disequazione il segno dei due fattori, e ricordando che ci interessano gli intervalli che rendono il prodotto non negativo, troviamo
Ma è il raggio in coordinate polari, quindi deve essere maggiore-uguale a zero, e quindi ci limitiamo a considerare la parte della soluzione non negativa. La funzione assume valori maggiori-uguali a zero per
Ora passiamo allo studio dei massimi/minimi, dunque ci calcoliamo il segno della derivata prima della funzione in . La derivata è
Ne studiamo il segno
e troviamo che la derivata prima è non negativa per
e negativa per
quindi lungo la circonferenza di raggio
la nostra funzione di due variabili ha, in ogni punto, un punto di minimo, mentre in 
(cioè nell'origine) ha un punto di massimo.
Se dovessi avere dei dubbi non esitare a chiedere
Namasté!
Risposta di Omega