Soluzioni
  • Consideriamo la successione \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}-\{0\}} definita ricorsivamente da

    a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}^{2}}

    con a_{1}=1.

    Per calcolare il termine a_{5} abbiamo bisogno di tutti i termini che lo precedono, ossia a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4}.

    a_{1}=1 è noto ed è dato dalla definizione.

    Per calcolare a_{2} bisogna rifarsi alla legge ricorsiva

    a_{2}=\sqrt{2+a_{1}^2}=\sqrt{2+1^2}=\sqrt{3}

    Grazie a questo valore possiamo ricavare a_{3}

    a_{3}=\sqrt{2+a_{2}^2}=\sqrt{2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5}

    Calcoliamo a_{4}

    a_{4}=\sqrt{2+a_{3}^{2}}=\sqrt{2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{2+5}=\sqrt{7}

    e infine a_{5}

    a_{5}=\sqrt{2+a_{4}^{2}}=\sqrt{2+(\sqrt{7})^2}=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3

    Possiamo concludere che a_{5}=3.

    Forma chiusa della successione ricorsiva

    Se osserviamo bene i primi cinque termini, possiamo presumere che la forma chiusa della successione a_{n} sia

    a_{n}=\sqrt{2n-1} \ \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0\}

    Per dimostrarlo, usiamo il principio di induzione: vogliamo provare che è vera la proposizione

    P(n): \ a_n=\sqrt{2n-1} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\ge 1

    Verifichiamo il passo base, quello per n=1

    P(1):\ a_{1}=\sqrt{2\cdot 1-1}\ \ \to \ \ \ 1=1 \ \ \ \mbox{Vero}

    Supponiamo che la proposizione sia vera per n

    P(n): \ a_{n}=\sqrt{2n-1} \ \grave{\mbox{e}}\ \mbox{vera}

    e mostriamo che è vera la proposizione P(n+1)

    P(n+1):\ a_{n+1}=\sqrt{2(n+1)-1}=\sqrt{2n+1}

    Per come è definita la ricorsione si ha che

    a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}^2}=(\bullet)

    Dall'ipotesi induttiva sappiamo che

    a_{n}=\sqrt{2n-1}

    per cui la precedente espressione diventa

    \\ (\bullet)=\sqrt{2+(\sqrt{2n-1})^2}=\sqrt{2+2n-1}=\\ \\ =\sqrt{2n+1}

    È fatta! Grazie al principio di induzione abbiamo dimostrato che la forma chiusa della successione ricorsiva è

    a_{n}=\sqrt{2n-1} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\ge 1

    come volevamo.

    Risposta di Ifrit
 
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