Soluzioni
  • In generale, n vettori di \mathbb{R}^n individuano un sistema di generatori di \mathbb{R}^n se e solo se sono linearmente indipendenti tra loro, dunque i valori del parametro k tali che

    \mathbf{u}_1=(1,k,k^2) \ \ ; \ \ \mathbf{u}_2=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{u}_3=(-1,-1,k^2)

    formano un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 si ottengono determinando i valori di k per cui \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 sono indipendenti.

    A tal proposito disponiamo i vettori per righe in una matrice

    A=\begin{pmatrix}\mathbf{u}_1 \\ \mathbf{u}_2 \\ \mathbf{u}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k&k^2 \\ 1&1&0 \\ -1&-1&k^2\end{pmatrix}

    Per i valori di k per cui il rango di A è 3, \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 sono indipendenti, e quindi costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^3.

    A è una matrice quadrata di ordine 3, pertanto ha rango 3 se il suo determinante è diverso da zero; calcoliamolo con uno sviluppo di Laplace rispetto alla seconda riga, in quanto ha un elemento nullo.

    \\ \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&k&k^2 \\ 1&1&0 \\ -1&-1&k^2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1)^{2+1} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}k&k^2 \\ -1&k^2\end{pmatrix} + (-1)^{2+2} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&k^2 \\ -1&k^2\end{pmatrix}=

    Calcoliamo i determinanti delle matrici 2x2

    \\ = -1 \cdot (k^3+k^2) + 1 \cdot (k^2+k^2) = \\ \\ = -k^3-k^2+2k^2 = \\ \\ = -k^3+k^2=

    raccogliamo a fattor comune k^2

    =k^2(-k+1)

    dunque

    \mbox{det}(A)=k^2(-k+1)

    Per la legge di annullamento del prodotto

    \mbox{det}(A)=0 \iff k^2=0 \ \ \vee \ \ -k+1=0

    Risolviamo le due equazioni

    \\ k^2=0 \ \to \ k=0 \\ \\ -k+1=0 \ \to \ k=1

    Il determinante di A è diverso da zero, e quindi A ha rango 3, per k \neq 0 e per k \neq 1.

    In conclusione, l'insieme \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\} è un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 per k \in \mathbb{R}-\{0,1\}.

    Con questo è tutto!

    Risposta di Galois
 
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