Come trovare una base di un sottospazio vettoriale

Ciao potreste cortesemente spiegarmi come determinare una base per un sottospazio vettoriale definito da equazioni cartesiano o mediante un sistema di generatori? C'è ad esempio questo esercizio che sto tentando di risolvere:


determinare la dimensione ed una base dei seguenti sottospazi: W = L((-2,1),(0,0)) in R^2 e U = {(x1,x2,x3,x4): x2=x4=0} in R^4.

Domanda di Giulialg88
Soluzioni

Ciao Giulialg88, arrivo a risponderti...:)

Risposta di Omega

Per trovare la dimensione del sottospazio generato dai vettori (−2,1),(0,0) dovremmo valutare se i due vettori sono, oppure non sono, linearmente indipendenti. Dico dovremo perché, essendo il secondo vettore identicamente nullo, è evidente che i due vettori non possono essere linearmente indipendenti.

Di conseguenza, il sottospazio è generato dal solo vettore (−2,1) che ne costituisce ovviamente una base, e dunque W = (−2,1),(0,0) è un sottospazio di R^2 di dimensione 1.

Passando al secondo sottospazio, questa volta in R^4

U = (x_1,x_2,x_3,x_4)  t.c. x_2 = x_4 = 0

osserviamo che i vettori di tale sottospazio devono essere della forma

[x_1 ; 0 ; x_3 ; 0]

possiamo considerare come base del sottospazio 

[1 ; 0 ; 0 ; 0],[0 ; 0 ; 1 ; 0]

e quindi concludiamo che il sottospazio W ha dimensione 2.

Se dovessi avere dei dubbi, non esitare a chiedere Wink

Namasté!

Risposta di Omega

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