Punto di una retta nello spazio con distanza minima dall'origine

Per prima cosa dobbiamo calcolarci le equazioni parametriche della retta. Per farlo, è sufficiente assegnare il parametro alla variabile e mettere a sistema le due equazioni cartesiane dei piani che individuano la retta, sostituire la seconda equazione con la somma delle due equazioni e dedurne

quindi, risostituendo nella prima equazione, si trova

Concludiamo che la retta ha equazioni parametriche

Ora facciamo ricorso alla formula per la distanza di un punto da una retta: detta l'origine degli assi

dunque

ossia

Ora non rimane che minimizzare questa funzione di una variabile e determinare il parametro che realizza il minimo. Fatto ciò, sostituendolo nelle equazioni parametriche della retta, si trova il punto cercato.

Questo sarebbe il metodo più spontaneo. Ricorrendo ai moltiplicatori di Lagrange, è sufficiente scrivere la distanza come funzione di tre variabili

e sottoporre tale funzione ai due vincoli rappresentati dai piani:

cioè

e

cioè

Vuoi provare da te oppure vediamo i conti insieme?

Namasté!