Soluzioni
  • Ciao Povi, il tempo di scrivere la risposta e sono da te :)

    Risposta di Ifrit
  • La matrice:

    A_t=\left[\begin{matrix}t&2&-1\\1&t+1&-1\\0&0&1\end{matrix}\right]

     

    \det(A-\lambda I)= (\lamda-1)(\lambda-2-t)(-\lambda+t-1)=0 se e solo se:

    \lamda_1= 1,\lambda_2 = 2+t, \lambda_3= t-1

     

    Dobbiamo fare in modo che la somma delle molteplicità algebrica sia uguale alla somma delle molteplicità geometriche.

    Putroppo abbiamo un parametro che rende complicato questo fatto, pertanto troviamo per quali valori di t \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 sono uguali.

    \lambda_1= \lambda_2\iff t= -1

    \lambda_1= \lambda_3\iff t=2

    \lambda_2= \lambda_3 mai

    Quindi per t\ne -1, 2

    La matrice A è sicuramente diagonalizzabile, perché i tre autovalori sono distinti e di conseguenza viene rispettato il criterio di diagonalizzabilità (m_a(\lamda_i)=1=m_g(\lambda_i)\quad i=1,2, 3)

    Per gli altti valori dobbiamo fare uno studio aggiuntivo:

    Se

    t=-1

    A_{-1}=\left[\begin{matrix}-1&2&-1\\1&0&-1\\0&0&1\end{matrix}\right]

    \det(A_{-1}-\lamda I)= (-\lambda-2)(\lambda-1)^2

    Capiamo subito che i due autovalori sono:

    \lambda_1= 1\quad\mbox{ con }m_a(\lambda_1)= 2

    \lambda_2= 2\quad\mbox{ con }m_a(\lambda_1)= 1

    Calcoliamo la molteplicità geometrica dell'autovalore \lambda_1

    L'equazione dell'autospazio di 1 è

    \left[\begin{matrix}-2&2&-1\\1&-1&-1\\0&0&0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right]

    Il rango della matrice

    \left[\begin{matrix}-2&2&-1\\1&-1&-1\\0&0&0\end{matrix}\right]

    è

    Rank\left[\begin{matrix}-2&2&-1\\1&-1&-1\\0&0&0\end{matrix}\right]=2

    Pertanto la molteplicità geometrica di \lambda_1=1 è 3-Rank= 3-2=1

    Poichè la molteplicità algebria è maggiore strettamente della molteplicità geometrica, allora possiamo concludere che per questo particolare valore, la matrice non è diagonalizzabile, poiché viene meno la condizione necessaria.

    Procedi allo stesso modo per l'altro valore. Provaci da solo. Nel caso non ci riuscissi fammi un fischio :)

    PS: Controlla tutti i conti. Li ho fatti a mano!!! :C

    Risposta di Ifrit
  • Quindi una volta calcolati  i lambda con il primo determinante euguaglio i valori e ciò mi dice per quali t è sicuramente diagonalizzabile?

    Poi mi calcolo gli autovalori ponendo t = a quei valori che non se la matrice è diagonalizzabile?

    E poi per la base spettrale e la matrice diagonalizzata come devo fare? CIoè se con un T diverso da -1 e 2 la matrice è diagonalizzabile per calcolare la matrice diagonalizzata quale t scelgo?Posso sceglierne uno dei due solamente?

    Risposta di povi
  • Se hai una matrice 3x 3 e hai  tre autovalori distinti allora la matrice è sicuramente diagonalizzabile, questo perché la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica sono pari ad 1.

    Io cosa ho fatto? Ho escluso i casi in cui gli autovalori della matrice coincidessero,

    Se t\ne -1, 2 allora la matrice è sicuramente diagonalizzabile. Chiaro? Nei casi t=-1, 2 devi indagare le molteplicità geometriche. Se le molteplicità algebriche e geometriche coincidono allora la matrice è diagonalizzabile.

    Risposta di Ifrit
  • Nell'esercizio fatto dalla proff quando deve studiare i casi particolari, cioè con t=-1 e2 scrivere la matrice associata mettendo t=-1 e lambda =1 studiando le molteplicità etc. Poi pone t=2 e lambda =1 e fa lo stesso. Ciò vuol dire che negli esercizi quando vado a studiare i casi partciolari con questi due valori delle t posso mettere sempre come lamba quello che so già?Come in questo caso era uno.

    Risposta di povi
  • Certo che sì, devi utilizzare gli autovalori che hai trovato, altrimenti cosa andresti a pigliareTongue out

    Hai risolto il tuo dubbio? :D

    Risposta di Ifrit
  • però ad esempio facendo in questo modo cioè con t=2 e lamba = 1 viene la matrice 

    2    2   -1

    1    2    -1

    0     0    0

    di rango  2 e quindi la molteplicità geometrica è uno. Il fatto è che non riesco a capire dove sta la molteplicità algebrica?

    Io so che lambda uno=1 ma non so a quanto equivalgono gli altri lambda per vedere quante volte uno si ripeta :s

    Risposta di povi
  • mi sono sbagliato la malteplicità algebrica è 2 anche la geometrica. Però non ho capito dove si vede l'algebrica

     

    Risposta di povi
  • Dammi qualche minuto per fare i conti ;) e qualche altro per scriverli in Latex xD, ci metterò un po' :P

    Risposta di Ifrit
  • Per t=2

    La matrice A diventa:

    A=\left[\begin{matrix}2&2&-1\\ 1&3&-1\\0&0&1\end{matrix}\right]

    Troviamo gli autovalori:

    det(A-\lambda I)= (\lamda-1)^2(4-\lambda)=0

    Otteniamo 3 radici:

    \lambda_1=\lambda_2= 1

    \lambda_3= 4

    Da qui scopriamo che, poiché \lambda_1=\lambda_2 allora la molteplicità algebrica de:

    m_a( \lambda_1)=2

    Perché 1 è una radice del polinomio caratteristico che vale per due radici.

    \lambda_3=4 ha molteplicità algebrica 1.

     

    Poiché vale la catena di disuguaglianze:

    1\le m_g(\lambda_i)\le m_a(\lambda_i)

    (Cioè la molteplicità geometrica di un autovalore è sempre compresa tra 1 e la sua molteplicità algebrica) , allora si ha che:

    1\le m_g(\lambda_3)\le m_a(\lambda_3)=1\implies m_g(\lambda_3)=1

    Benissimo, andiamo a indagare la molteplicità geometrica di {tex\lambda_1= 1{/tex}

    In che modo? Utilizziammo l'equazione dell'autospazio:

    (A- I)\mathbf{x}= \mathbf{0}

    A-I=\left[\begin{matrix}1&2&-1\\1&2&-1\\0&0&0\end{matrix}\right]

    ha rango 1 quindi la molteplicità geometrica è 3-1=2

    La molteplicità geometrica concide con la molteplicità algebrica, possiamo quindi concludere che:

    per t=2 la matrice è diagonalizzabile.

    Ti prego di controllare tutti i conti.

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille :)

    Risposta di povi
 
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