Soluzioni
  • Ok, iniziamo:

    Scriviamo il dominio di integrazione in modo che sia più chiaro:

    H=\{(x, y, z): 0\lex\le 1, 0\le y\le x^3, 0\le z\le x\}

    In questo caso possiamo osservare che la variabile x non dipende dalle altre, mentre y e z sono vincolate da funzioni di x.

    L'integrale quindi si scrive come:

    \int_0^1 \left(\int_0^x^3\left(\int_0^x e^y \sqrt{x^2-z^2}dz\right)d y\right) dx

    Concentriamoci sull'intergrale:

    \int_0^x e^y \sqrt{x^2-z^2}dz= e^y \int_0^x \sqrt{x^2-z^2}dz

    La funzione e^y è costante rispetto a z quindi possiamo lasciarla fuori dall'integrale:

    \int_0^x\sqrt{x^2-z^2}dz= \int_0^x \sqrt{x^2\left(1-\left(\frac{z}{x}\right)^2\right)}=

    \int_0^x x\sqrt{1-\left(\frac{z}{x}\right)^2}= \left[\frac{x}{2} \left(z\sqrt{1-\frac{z^2}{x^2}}+x\arcsin\left(\frac{z}{x}\right)\right)\right]_0^x= \frac{\pi x^2}{4}

    (Scusami se non ho risolto l'integrale, ma richiede molti passaggi, nel caso avessi bisogno chiedi, cercherò di risponderti)

    In definitiva:

    \int_0^1 \left(\int_0^x^3\left(\int_0^x e^y \sqrt{x^2-z^2}dz\right)d y\right) dx=

    \int_0^1 \left(\int_0^{x^3} e^y \frac{\pi x^2}{4}d y\right) dx=

    \int_0^1 \frac{\pi x^2}{4}\int_0^{x^3} e^y dy dx=

    \int_0^1 \frac{\pi x^2}{4} (e^{x^3}-1) dx=

    \frac{\pi}{4}\left(\int_0^1 x^2 e^{x^3}dx+\int_0^1 x^2\right)

    = \frac{\pi }{4} \left(\left[\frac{e^{x^3}}{3}\right]_0^1-\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1\right)

    \frac{\pi}{4}\left(\frac{e}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)= \frac{\pi}{4}\left(\frac{e}{3}-\frac{2}{3}\right)

     

    Che è il risultato che volevamo.

    Risposta di Ifrit
  • ti ringrazio molto

     

    Risposta di Danielenonlasà
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