Soluzioni
  • Consideriamo l'insieme reale X

    X=\{0\}\cup\left\{1-\frac{2}{n+3} \ : \ n\in\mathbb{N}\right\}\cup[1,3]

    Esso è definito come l'unione di tre insiemi distinti:

    - il singoletto \{0\}, formato dal solo zero;

    - l'insieme \left\{1-\frac{2}{n+3} \ : \ n\in\mathbb{N}\right\} costituito dagli elementi della successione con termine generale

    a_n=1-\frac{2}{n-3}\ \ \ \mbox{con} \ n\in\mathbb{N}

    - l'intervallo chiuso e limitato [1,3].

    Il nostro obiettivo prevede di esplicitare il derivato di X e di dire se è un insieme infinito e limitato, ma prima, richiamiamo la definizione di derivato di un insieme.

    Sia X un sottoinsieme di \mathbb{R}, si chiama derivato di X, e si indica con il simbolo DX, l'insieme dei punti di accumulazione di X, ossia è l'insieme dei punti x_0 di \mathbb{R} per i quali ogni loro intorno completo contiene almeno un punto di X diverso da x_0.

    Dopo aver richiamato le definizioni, osserviamo che l'insieme

    E=\{0\}\cup\left\{1-\frac{2}{n+3} \ : \ n\in\mathbb{N}\right\}

    è formato esclusivamente da punti isolati, infatti per ciascun elemento x\in E esiste un suo intorno bucato la cui intersezione con l'insieme E è vuota.

    Proprio perché ogni punto di E è un punto isolato, non potrà essere di accumulazione per X, di conseguenza gli elementi dell'insieme

    \{0\}\cup\left\{1-\frac{2}{n+3} \ : \ n\in\mathbb{N}\right\}

    non appartengono al derivato di X.

    È invece punto di accumulazione per X il limite della successione:

    \lim_{n\to+\infty}\left[1-\frac{2}{n+3}\right]=1

    Per definizione di limite, infatti, per ogni \varepsilon>0 esiste un indice \nu_{0}\in\mathbb{N} tale che:

    \left|a_n-1\right|<\varepsilon \ \ \ \mbox{per ogni} \ n>\nu_0

    In base alla definizione di valore assoluto, la precedente disuguaglianza si può esprimere in maniera equivalente come

    -\varepsilon<a_n-1<\varepsilon \ \ \ \to \ \ \ 1-\varepsilon<a_n<1+\varepsilon

    per ogni n>\nu_0.

    Ciò dimostra che per ogni intorno di 1, esiste un elemento della successione che vi appartiene, ossia 1 è un punto di accumulazione per E.

    Tutti i punti dell'intervallo [1,3], infine, sono banalmente punti di accumulazione per E, pertanto possiamo concludere che il derivato di X è formato esclusivamente dai punti dell'intervallo [1,3]:

    DX=[1,3]

    Si noti che DX è limitato superiormente da 3 e limitato inferiormente da 1 ed è costituito da infiniti elementi, per cui DX è un insieme infinito e limitato.

    Dopo aver risposto alla prima domanda del test, occupiamoci della seconda: dobbiamo verificare se X-\{0\} è un insieme chiuso o meno.

    La risposta è semplice: la differenza insiemistica X-\{0\} coincide con il seguente insieme

    X-\{0\}=\left\{1-\frac{2}{n+3} \ : \ n\in\mathbb{N}\right\}\cup[1,3]

    il quale contiene il derivato di X, vale a dire:

    DX\subset X-\{0\} \ \ \ \iff \ \ \ \left\{1-\frac{2}{n+3} \ : \ n\in\mathbb{N}\right\}\cup[1,3]

    per cui X-\{0\} è necessariamente un insieme chiuso perché contiene tutti i propri punti di accumulazione.

    Possiamo concludere, quindi, che "X-\{0\} non è un insieme chiuso" è una proposizione falsa.

    Risposta di Ifrit
 
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