Soluzioni
  • Ciao Mery, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Consideriamo l'insieme 

    X:=\{0\}\cup\{1-\frac{2}{n+3}\mbox{ t.c. }n\in\mathbb{N}\}\cup [1,3]

    L'insieme derivato di X, cioè l'insieme dei punti di accumulazione di X è dato da DX=[1,3], in quanto è l'unione del limite della successione

    \lim_{n\to +\infty}{1-\frac{2}{n+3}}=1

    e dei punti di accumulazione dell'intervallo [1,3], che sono dati dall'intervallo stesso. Quindi, in definitiva, DX è un insieme limitato e infinito, nel senso che contiene un'infinità di punti.

    La seconda affermazione invece è falsa, in quanto DX\subseteq X-\{0\}, cioè l'insieme X contiene tutti i prorpi punti di accumulazione, e quindi è chiuso.

    Se dovessi avere dubbi non esitare a chiedere Wink

    Namasté

    Risposta di Omega
  • Quindi se ho capito bene {0} va tolto anche nell'insieme "X" proposto dall'esercizio e non solo nella chiusura.....(non so se mi sono spiegata.....)

    Risposta di mery
  • inoltre DX=[1,3]?

    Risposta di mery
  • Credo di aver capito la tua osservazione, ma attenzione al linguaggio (non te lo dico per il gusto di rompere le...scatole Laughing). La chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme con i propri punti di accumulazione; è cioè l'unione dell'insieme con il proprio insieme derivato, e si indica con \overline{X}

    \overline{X}=X\cup DX

    In particolare, se un insieme è chiuso allora coincide con la propria chiusura, e nel nostro caso X è chiuso. L'esercizio nel secondo punto ti chiede se l'insieme X privato del punto \{0\} è chiuso, quindi stiamo considerando un nuovo insieme a tutti gli effetti: X-\{0\}.

    Il punto è che se togli ad un insieme chiuso un suo punto di accumulazione - e non è il nostro cao - allora l'insieme non è più chiuso. Qui togliamo ad X un punto isolato, quindi l'insieme X-\{0\} continua ad essere chiuso.

    Era questo ciò che intendevi?:)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si, intendevo questo.

    Non trovavo le parole per dire:

    quindi stiamo considerando un nuovo insieme a tutti gli effetti: X-{0}.(...fai bene a corregermi......)

             e... DX=[1,3]?

    Risposta di mery
  • Ora ci sei! Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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