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    Data l'equazione

    \Pi:\ y= ax^2+bx+c

    L'equazione generale dell'asse di simmetria è:

    x= -\frac{b}{2a}

    Poiché l'esercizio ci dice che essa è:

    x= 2 

    Pertanto:

    -\frac{b}{2a}=2\implies -b= 4a\implies b= -4a

    L'equazione della parabola si riscrive come:

    y= ax^2-4a x+c

    Inoltre P(0, 0)\in\Pi

    Imponiamo la condizione di appartenenza:

    0= c

    Da cui otteniamo il primo elemento che definisce la parabola. L'equazione pertanto prende la forma:

    y= a x^2-4a x

    Le coordinate del vertice sono appartenenti alla retta di equazione:

    r:y=-\frac{1}{2}x-3

    Saranno quindi della forma:

    V(x_0, -\frac{1}{2}x_0-3)

    Ricordiamo inoltre che in generale il vertice di una parabola ha coordinate:

    V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)= \left(2, -\frac{\Delta}{4a}\right)

    Da qui capiamo che:

    x_0= 2

    Le coordinate del vertice sono quindi:

    V\left(2, -\frac{1}{2}*2-3\right)= (2, -4)

    Imponiamo il passaggio della parabola in tale punto:

    -4= 4a-8a\implies -4= -4a\implies a=1

    Sostituendo a all'equazione della parabola:

    y= x^2-4x

    Abbiamo finalmente trovato l'equazione della parabola!

    Troviamo a questo punto l'intersezione tra la parabola e l'asse:

    x^2-4x=0\implies x=0, x=4

    I punti di intersezione sono:

    P_1(0, 0), P_2(4, 0)

    Il lato del quadrato, stante sull'asse X avrà coordinate:

    (x_0, 0), (x_1, 0) con x0 e x1 nell'intervallo (0, 4)

    Sia 0\le x_0\le 2, il punto simmetrico rispetto all'asse di simmetria è

    x_1= 4-x_0

    la distanza tra x_1 e x_0 è:

    x_1-x_0= 4-x_0-x_0= 4-2x_0 e rappresenta la lunghezza del lato del quadrato

    Ora

    |x_0^2-4x_0|

    rappresenta la distanza tra un punto generico della parabola con l'asse X. Dobbiamo fare in modo che essa sia uguale alla distanza tra i punti :

    |x_0^2-4x_0|= 4-2x_0

    Poiché 0\le x_0\le 2 allora x_0^2-4x_0<0 e per le proprietà del valore assoluto

    -x_0^2+4x_0= 4-2x_0

    -x_0^2+6x_0-4=0

    Risolvendo l'equazione:

    x= \frac{-6\pm \sqrt{36-16}}{-2}

    x= 1-\sqrt{5}, x= 3-\sqrt{5}

    La soluzione x= 1-\sqrt{5} non è accettabile

    Quindi abbiamo scoperto che l'ascissa del vertice del quadrato è  

    x_0= 3-\sqrt{5}

    L'ordinata invece vale:

    x_0^2-4x_0= (3-\sqrt{5})^2-4(3-\sqrt{5})= 9+5-6\sqrt{5}-12+4\sqrt{5}= 2-2\sqrt{5}.

    Risposta di Ifrit
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