Risolvere un sistema di equazioni complesse

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Come faccio a risolvere questo sistema di equazioni complesse e a scrivere le soluzioni in forma algebrica?

 

z^(*)z^2-zz^(*) = -z^(*)

(z^3+z^(*))^3 = 1

 

Le due equazioni sono a sistema, dove z^* = x-iy è il complesso coniugato di z.

Domanda di leoncinakiara

 
Soluzioni

  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega

  • Consideriamo il sistema di equazioni complesse

    z^(*)z^2-zz^(*) = -z^(*)

    (z^3+z^(*))^3 = 1

    Riscriviamo la prima equazione nella forma

    z^(*)(z^2-z+1) = 0

    che ci fornisce due condizioni: la prima è

    z^(*) = 0

    Sosstituendola nella seconda equazione, troviamo

    z^9 = 1

    Le soluzioni di tale equazione costituiranno una parte dell'insieme delle soluzioni.

    Passiamo alla seconda condizione dettata dalla prima equazione:

    z^2-z+1 = 0

    che risolviamo con l'usuale formula del discriminante, trovando

    z_(1,2) = (1±√(-3))/(2) = (1±i√(3))/(2)

    ossia

    z = (1)/(2)±i(√(3))/(2)

    Ora sostituiamo tali valori di z nella seconda equazione, non prima di aver osservato che possiamo riscrivere questi due numeri complessi nella forma

    1·e^(±i (π)/(3))

    avendone calcolato modulo e argomento, per cui sostituendo troviamo

    e^(±i (π)/(3)9) = e^(±iπ) = -1

    dunque se ne deduce che i valori considerati risolvono solamente la prima equazione e non la seconda: non sono soluzioni del sistema.

    Restano da calcolare le soluzioni dell'equazione

    z^9 = 1

    fin qui ti torna tutto?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • sì sì

    Risposta di leoncinakiara

  • Dobbiamo risolvere l'equazione

    z^9 = 1

    che ci fornirà le soluzioni del sistema considerato. Per farlo, dobbiamo ricorrere alla formula per il calcolo della radice n-esima di un numero complesso:

    [n]√(z) = [n]√(ρ)(cos(((θ+2kπ)/(n)))+isin((θ+2kπ)/(n)))

    dove dobbiamo prendere k = 0,1,...,9 e n = 9

    Per poter applicare questa formula, scriviamo le radici non di 1 in campo complesso: prima di tutto lo riscriviamo in forma trigonometrica

    1 = (cos(0)+isin(0))

    Quindi abbiamo da sostituire nella precedente formula θ = 0 e ρ = 1. In questo modo si trovano le nove radici cercate.

    Se dovessi avere difficoltà con i calcoli, non esitare a chiedere!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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