Soluzioni
  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Consideriamo il sistema di equazioni complesse

    z^{*}z^2-zz^{*}=-z^{*}

    (z^3+z^{*})^3=1

    Riscriviamo la prima equazione nella forma

    z^{*}(z^2-z+1)=0

    che ci fornisce due condizioni: la prima è

    z^{*}=0

    Sosstituendola nella seconda equazione, troviamo

    z^9=1

    Le soluzioni di tale equazione costituiranno una parte dell'insieme delle soluzioni.

    Passiamo alla seconda condizione dettata dalla prima equazione:

    z^2-z+1=0

    che risolviamo con l'usuale formula del discriminante, trovando

    z_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}

    ossia

    z=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}

    Ora sostituiamo tali valori di z nella seconda equazione, non prima di aver osservato che possiamo riscrivere questi due numeri complessi nella forma

    1\cdot e^{\pm i \frac{\pi}{3}}

    avendone calcolato modulo e argomento, per cui sostituendo troviamo

    e^{\pm i \frac{\pi}{3}9}=e^{\pm i\pi}=-1

    dunque se ne deduce che i valori considerati risolvono solamente la prima equazione e non la seconda: non sono soluzioni del sistema.

    Restano da calcolare le soluzioni dell'equazione

    z^9=1

    fin qui ti torna tutto?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • sì sì

    Risposta di leoncinakiara
  • Dobbiamo risolvere l'equazione

    z^9=1

    che ci fornirà le soluzioni del sistema considerato. Per farlo, dobbiamo ricorrere alla formula per il calcolo della radice n-esima di un numero complesso:

    \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\frac{\theta+2k\pi}{n}}\right)

    dove dobbiamo prendere k=0,1,...,9 e n=9

    Per poter applicare questa formula, scriviamo le radici non di 1 in campo complesso: prima di tutto lo riscriviamo in forma trigonometrica

    1=(\cos{(0)}+i\sin{(0)})

    Quindi abbiamo da sostituire nella precedente formula \theta=0 e \rho=1. In questo modo si trovano le nove radici cercate.

    Se dovessi avere difficoltà con i calcoli, non esitare a chiedere!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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