Soluzioni
  • Ciao Neumann, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Occhio, per prima cosa, al fatto che stiamo parlando derivata di una funzione reale di variabile reale, quindi c'è una e una sola direzione lungo cui derivare: le funzioni di una variabile "vivono" infatti solo ed esclusivamente sull'asse reale (delle ascisse).

    Credo però di aver afferrato il concetto: ti chiedi come si esprime la derivata in quanto limite del rapporto incrementale volendo calcolare il limite da sinistra del punto. Ragioniamo, cioè, in un intorno sinistro del generico punto x.

    Nessun problema: essendo il rapporto incrementale

    \lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

    devi sostituire l'incremento, dovunque compare, con -h. Per giustificarlo, e vedere se è verosimile, osserva che a numeratore arriviamo a sinistra del punto x, ed h esprime una distanza, quindi è positivo e dobbiamo specificarne il segno.

    L'incremento che compare a denominatore invece è

    -h

    Tutto dipende se consideri h come una distanza (come ho fatto io, quindi h\to 0^+ ma devi specificarne dovunque il segno) oppure come un valore reale che tende a zero: nel tendere a zero da sinistra, avrai h\to 0^- e scriverai sempre il segno "+", sottintendendo che il valore di h è negativo.

    Una questione di pure notazioni :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Infatti sopra intendevo verso -i. Comunque il mio dubbio non consiste nel calcolare il limite che mi restituisce la derivata destra o sinistra, perchè h lo considero reale diverso da 0. La questione è, invece che esprimere l'incremento di f(x) muovendomi da -∞ a +∞, voglio esprimere l'incremento di f(x) muovendomi da +∞ a -∞. Ora non so se la chiave che hai dato al problema è equivalente a quello che intendevo, penso di aver interpretato bene.

    Risposta di Neumann
  • Abbiamo interpretato entrambi bene Wink infatti la derivata da sinistra è proprio, se esiste, il limite del rapporto incrementale calcolato da sinistra verso destra, e quindi prendendo un incremento h\to 0^-.

    Se invece vuoi considerare l'incremento come una distanza, prendi h\to 0^+ ma ci metti un meno davanti dovunque compare nel rapporto incrementale, vale a dire nella valutazione della funzione e a denominatore.

    In ogni caso, onde evitare fraintendimenti, per calcolare l'incremento in un verso devi muoverti nel verso opposto nel calcolare il rapporto incrementale.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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