Soluzioni
  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Per studiare la convergenza della serie, dobbiamo distinguere diversi casi a seconda del valore che assume la base della potenza a numeratore b^2-b (chiamo b il parametro, a tastiera è più comodo di \beta).

    Il caso più semplice lo abbiamo per b^2-b=0, caso in cui la serie converge in quanto è proprio la serie identicamente nulla.

    Ora consideriamo il caso |b^2-b|\in (0,1), in cui abbiamo certamente convergenza, perché il numeratore può essere maggiorato con il termine di una serie geometrica

    q^n

    di ragione |q|<1.

    Passiamo al caso in cui b^2-b=1. Abbiamo convergenza perché la serie si riduce ad una serie evidentemente convergente, in particolare

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^n}}

    Lo stesso dicasi nel caso in cui b^2-b=-1, perché ci ritroviamo con una serie che converge assolutamente, e dunque pure semplicemente (ci si ridue al caso b^2-b=1 nello studio della convergenza assoluta).

    Passiamo poi al caso

    b^2-b>1

    in cui il criterio della radice ci assicura che la serie diverge, infatti basta considerare

    \sqrt{\frac{c^{n^2}}{n^n}}=\frac{c^n}{n}\to +\infty

    poichè c=b^2-b>1

    Infine, nel caso

    b^2-b<-1

    abbiamo una serie irregolare che non converge, in quanto il termine generale oscilla illimitato.

    Se dovessi avere dei dubbi, non esitare a chiedere Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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