Domanda su gradiente di funzione composta

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Data la funzione f(x;y)=sin((x^2)*y)

grad f = (2yx*cos((x^2)*y); (x^2)*cos((x^2)*y)) se non ho sbagliato i calcoli...

Vorrei sapere come si applica la regola (grad g composto f)(x;y) = grad g (f(x;y)) * grad f(x;y)

Domanda di Neumann

 
Soluzioni

  • Ciao Neumann, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Prendiamo la funzione

    f(x,y)=\sin{(x^2y)}

    Verifico i calcoli sul gradiente:

    \frac{\partial f}{\partial x}=\cos{(x^2 y)}(2xy)

    \frac{\partial f}{\partial y}=\cos{(x^2 y)}(x^2)

    Quindi tutto ok! Laughing

    La regola del gradiente di una funzione composta si applica tenendo in considerazione che solamente la funzione più interna è una funzione di due variabili. Nel nostro caso

    f(z)=\sin{(z)}

    g(x,y)=x^2y

    infatti prima passi da due variabili (x,y) ad un valore numerico - la quota g(x,y) - dopodichè applichi ad essa una funzione reale di variabile reale.

    Quindi dobbiamo applicare la formula

    \nabla (f\circ g(x,y))=\frac{d}{dz}\left[f(z)\right] \cdot \nabla g

    e si applica effettuando l'usuale prodotto di un vettore per uno scalare.

    Nel nostro caso

    \frac{d}{dz}f(z)=\cos{(z)}

    \nabla g(x,y)=[2xy,x^2]^T

    e poi sostituisci z=x^2y con l'immagine della funzione z=g(x,y), e ci sei.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Perfetto, allora sorgono 2 domande: è corretto chiamare gradiente di una funzione ad una variabile la sua derivata? E poi, ci sono casi in cui quando determino i 2 gradienti, essi risultano entrambi vettori e dunque devo eseguire il prodotto scalare per determinare il gradiente della composta?

    Risposta di Neumann

  • Per la prima sì: è corretto. La derivata prima è un gradiente monodimensionale, quindi uno scalare. Esattamente come un vettore con un solo elemento è uno scalare.

    Per la seconda: non devi effettuare il prodotto scalare, devi effettuare il prodotto per uno scalare, in particolare tale scalare è la derivata della seconda funzione in ordine di composizione.

    Se preferisci, puoi scrivere come primo vettore il vettore con componenti la derivata prima, ripetuta, della seconda funzione in ordine di composizione, e poi sì effettuare il prodotto scalare tra i due vettori. Ma sarebbe semplicemente una questione tecnica.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ottimo. Comunque nell'ultimo esempio che suggerisci otterrei la somma delle componenti del gradiente della funzione composta, puù che altro lo si potrebbe usare come un prodotto scalare "formale". Grazie mille!

    Risposta di Neumann

  • Figurati! Wink

    PS: gran bella immagine profilo! Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ahahah! Grazie!

    Risposta di Neumann
 
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