integrale doppio

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potete aiutarmi a risolvere questo integrale?

 

∫∫1/(√(x2+y2))     calcolato su C:(x2+y2<=r2; x+y>=r)

Domanda di Danielenonlasà

 
Soluzioni

  • Per calcolare l'integrale doppio

    ∫∫(1)/(√(x^2+y^2))dxdy

    conviene passare ad un riferimento in coordinate polari

    x = ρcos(θ)

    y = ρsin(θ)

    per il quale risulta

    √(x^2+y^2) = ρ

    e che ha come Jacobiano ρ dρ dθ, Resta da vedere come diventa l'insieme di integrazione in questo nuovo sistema di coordinate, ma non è complicato. Infatti

    x^2+y^2 ≤ r^2 , x+y ≥ r

    rappresenta nel sistema di coordinate originario la prozione di piano racchiusa tra la retta di passante per i punti di intersezione della circonferenza di raggio r relativamente al primo quadrante e la parte soprastante della circonferenza di raggio r, quindi diventa 

    ρ ≤ r ∧ θ ∈ [0,2π] , ρcos(θ)+ρsin(θ) ≥ r.

    Fin qui torna tutto?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • a ok perfetto, quindi ρ varia tra r/(cosθ+senθ) e r. Invece se avessi avuto il seguente dominio con la stessa funzione di prima?

     

    c:( x2+y2>=r2; 0<=x<=r; 0=<=y<=r)

    Risposta di Danielenonlasà

  • In una tale eventualità, cioè considerando l'insieme

    x^2+y^2 ≥ r, 0 ≤ x ≤ r, 0 ≤ y ≤ r

    avremmo a che fare con la porzione di piano data dal quadrato di lato r, con un vertice nell'origine e contenuto nel primo quadrante privato del quarto di corconferenza che si trova nel primo quadrante. In coordinate polari (scrivo separatamente le tre condizioni da mettere a sistema)

    ρ ≥ r

    0 ≤ ρcos(θ) ≤ r

    0 ≤ ρsin(θ) ≤ r

    e riscrivendo le ultime due

    0 ≤ ρ ≤ (r)/(cos(θ))

    0 ≤ ρsin(θ) ≤ (r)/(sin(θ))

    quindi, in un'unica condizione

    0 ≤ ρ ≤ min(r)/(cos(θ)),(r)/(sin(θ))

    che sembra una condizione molto ostica, ma non lo è: sse ci rifletti un'attimo, è sufficiente spezzare l'integrale rispetto a ρ nella somma di due integrali...ti chiedo: quali?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • se θΠ/4 allora min=r/senθ; 0<θ<Π/2. Dovrei spezzare gli integrali secondo queste variazioni?

    Risposta di Danielenonlasà

  • se θΠ/4 allora min=r/senθ; 0<θ<Π/2. Dovrei spezzare gli integrali secondo queste variazioni?

    Risposta di Danielenonlasà

  • penso ci sia qualche problema perchè scrivo una cosa e quando clicco su REPLICA ne ritorna un'altraFrown..comunque volevo dire che spezzo l'integrale a seconda che teta è maggiore o minore di pi/4:)

    Risposta di Danielenonlasà

  • Credo che sia un problema di formattazione, ad ogni modo hai centrato in pieno il nocciolo della questione! Laughing Bisogna giocare con l'angolo π /4.

    Se vuoi che facciamo i calcoli insieme, devi solo dirmelo. Te lo chiedo e non ti butto subito fuori lo svolgimento perché ti vedo ben determinato nel risolvere questi simpaticissimi integrali Wink

    Fammi sapere...

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie adesso proseguo da solo, mi interessava capire come erano gli estremi degli integrali:)

     

    Risposta di Danielenonlasà
 
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