Esercizio sulla posizione di una retta rispetto ad un piano

Per stabilire la posizione reciproca tra la retta e il piano definiti dalle equazioni

possiamo procedere come segue:

- calcoliamo il vettore direzione di naturalmente indotto dalla parametrizzazione della retta

composto essenzialmente dai coefficienti che moltiplicano il parametro libero .

- Determiniamo il vettore dei parametri direttori del piano, vale a dire il vettore composto dai coefficienti che moltiplicano le incognite

e che per costruzione individua la direzione normale al piano.

- Esplicitiamo il prodotto scalare canonico tra i vettori : se è diverso da zero, allora retta e piano sono incidenti e in questa eventualità si può calcolare il loro punto di intersezione.

Se invece il prodotto scalare è zero, la retta e il piano sono paralleli, in particolare: se un punto della retta appartiene al piano, allora la retta è contenuta nel piano (la retta e il piano sono paralleli interni); se la retta non ha alcun punto in comune con il piano, diremo che sono paralleli esterni.

Calcoliamo il prodotto scalare tra

e osserviamo che è diverso da zero, per cui sono incidenti.

Volendo essere più precisi, dall'uguaglianza tra il vettore normale al piano e il vettore direzionale della retta, , segue che ha la medesima direzione della normale, per cui incide ortogonalmente .

Per calcolare il punto di intersezione tra è sufficiente impostare il sistema lineare costituito dalle equazioni parametriche della retta e dall'equazione cartesiana del piano

Risolviamolo con il metodo di sostituzione rimpiazzando nell'ultima equazione

Sostituendo nelle altre relazioni, ricaviamo le coordinate del punto di intersezione

Riassumendo: incide perpendicolarmente il piano nel punto

Ecco fatto!