Soluzioni
  • Per stabilire la posizione reciproca tra la retta e il piano definiti dalle equazioni

    \\ r:\ \begin{cases}x=2t\\ y=1\\ z=-2+t\end{cases} \ \ \ \mbox{con}\  t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ \pi:\ 2x+z-3=0

    possiamo procedere come segue:

    - calcoliamo il vettore direzione di r naturalmente indotto dalla parametrizzazione della retta

    \mathbf{v}_{r}=(l,m,n)=(2,0,1)

    composto essenzialmente dai coefficienti che moltiplicano il parametro libero t.

    - Determiniamo il vettore dei parametri direttori del piano, vale a dire il vettore composto dai coefficienti che moltiplicano le incognite x,y,z

    \mathbf{n}=(a,b,c)=(2,0,1)

    e che per costruzione individua la direzione normale al piano.

    - Esplicitiamo il prodotto scalare canonico tra i vettori \mathbf{n}\ \mbox{e} \ \mathbf{v}_{r}: se è diverso da zero, allora retta e piano sono incidenti e in questa eventualità si può calcolare il loro punto di intersezione.

    Se invece il prodotto scalare è zero, la retta e il piano sono paralleli, in particolare: se un punto della retta appartiene al piano, allora la retta è contenuta nel piano (la retta e il piano sono paralleli interni); se la retta non ha alcun punto in comune con il piano, diremo che sono paralleli esterni.

    Calcoliamo il prodotto scalare tra \mathbf{n}\ \mbox{e}\ \mathbf{v}_{r}

    \\ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_{r}=(2,0,1)\cdot (2,0,1)=\\ \\ =2\cdot 2+0\cdot 0+1\cdot 1=5\ne 0

    e osserviamo che è diverso da zero, per cui r\ \mbox{e} \ \pi sono incidenti.

    Volendo essere più precisi, dall'uguaglianza tra il vettore normale al piano e il vettore direzionale della retta, \mathbf{n}=\mathbf{v}_r, segue che r ha la medesima direzione della normale, per cui incide ortogonalmente \pi.

    Per calcolare il punto di intersezione tra r\ \mbox{e}\ \pi è sufficiente impostare il sistema lineare costituito dalle equazioni parametriche della retta e dall'equazione cartesiana del piano

    \begin{cases}x=2t \\ y=1\\ z=-2+t\\ 2x+z-3=0\end{cases}

    Risolviamolo con il metodo di sostituzione rimpiazzando x=2t, y=1, z=-2+t nell'ultima equazione

    \begin{cases}x=2t \\ y=1\\ z=-2+t\\ 2(2t)+(-2+t)-3=0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=2t\\ y=1\\ z=-2+t\\ t=1\end{cases}

    Sostituendo t=1 nelle altre relazioni, ricaviamo le coordinate del punto di intersezione

    P(x,y,z)=(2\cdot 1, 1,-2+1)=(2,1,-1)

    Riassumendo: r incide perpendicolarmente il piano \pi nel punto P(2,1,-1).

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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