Integrale doppio su un cerchio con coordinate polari

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Salve, ho un integrale doppio da calcolare sul cerchio unitario. Ho svolto i calcoli passando alle coordinate polari ma non mi esce il risultato, avrei bisogno di un vostro parere al riguardo:

 

iint_C x^2 e^(-(x^2+y^2))dx dx

 

L'integrale doppio va calcolato sull'insieme di integrazione C dato da

 

C = (x, y): x^2+y^2 ≤ 1

 

Il risultato è: ∏(e-1)/(4e).

Domanda di Danielenonlasà

 
Soluzioni

  • Ciao Danielenonlasà (figo il nickname!!) il tempo di pensarci e ti rispondo :)

    Risposta di Ifrit

  • iint_C x^2 e^(-(x^2+y^2))dx dx

    Con C = (x, y): x^2+y^2 ≤ 1

    C è un cerchio, quindi possiamo pensare di parametrizzare:

    x = ρ cosθ

    y = ρsinθ

    Dove

    ρ ∈ [0, 1]

    θ ∈[0, 2π)

    Lo Jacobiano è ρ

    Sostituendo:

    iint_C ρ^3cos^2θ e^(-ρ^2) dρ d θ =

    ∫_0^1 ρ^3 e^(-ρ^2)dρ ∫_(0)^(2π) cos^2θ dθ

    Ora se non ho sbagliato qualche cosa il risultato mi risulta:

    ((e-2)/(2e))π

     

    Non torna... A te quanto torna?

    Risposta di Ifrit

  • guarda a me viene lo stesso identico risultato! A questo punto penso ch sia sbagliato il testo..prenderò per buono questo risultato, grazie:)

    Risposta di Danielenonlasà
 
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