Soluzioni
  • Ciao Neumann. Sì, esattamente. Qual è il problema? :D

    Risposta di Ifrit
  • A quanto pare non si è salvato il resto...

    Dicevo, come è possibile far cambiare il risultato di una somma permutandone i termini, visto che la somma algebrica è commutativa & associativa?

    Risposta di Neumann
  • La somma algebrica di un numero finito di numeri gode delle proprietà che dici, ma non valgono per le serie, in particolare l'associatività:

    Considera per eserpio la serie  

    \sum_{n=1}^\infty (-1)^n= 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1\cdots= non ammette somma, è indeterminata

    Infatti:

    Sia S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^k

    Il limite delle somme parziali non esiste! :)

    Se valesse la proprietà associativa per le serie potremmo raggruppare i termini in modo che la somma sia zero:

    \sum_{n=1}^\infty (-1)^n= (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)\cdots=0+0+0\cdots

     

    L'associatività si perde con le serie semplicemente convergenti, e lo dimostra il teorema di Riemann Dini,(a cui sono molto affezionato). Se però la serie converge assolutamente, l'associatività funziona.

    Risposta di Ifrit
  • Ottimo... prendo un altro esempio, è un po' come la continuità di una funzione somma, che si può perdere in alcuni punti se ho una serie di funzioni, no?

    Risposta di Neumann
  • Sì, le serie combinano non pochi scherzi!! Infatti con essi si costruiscono funzioni davvero molto molto barbare che vengono utilizzati come controesempi ai teoremi più importanti :D . 

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille!

    Risposta di Neumann
 
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