Soluzioni
  • Perfetto! Arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Sia CH l'altezza relativa all'ipotenusa AB di un triangolo rettangolo ABC. Sapendo che AH : HB = 9 : 16, e che il perimetro del triangolo AHC è inferiore di cm 12 al perimetro del triangolo BHC, determinare il perimetro e l'area del triangolo ABC [60; 150]

    Iniziamo con lo scrivere le condizioni che il problema assegna come dati. Dalla proporzionalità tra le proiezioni AH,HB dei cateti sull'ipotenusa

    AH:HB=9:16

    dunque ricaviamo, grazie ad una nota proprietà delle propozioni

    16AH=9HB

    ossia

    AH=\frac{9}{16}HB

    Inoltre, conoscendo la relazione tra i perimetri dei triangoli ACH e HCB abbiamo che

    AC+CH+AH=HB+CB+CH-12

    ossia

    AC-CB=HB-AH-12

    Sostituiamo la precedente condizione

    AC-CB=HB-\frac{9}{16}HB-12

    Ora osserviamo che, grazie al teorema di Pitagora, possiamo calcolare

    CB=\sqrt{CH^2+HB^2}

    AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{CH^2+\frac{81}{256}HB^2}

    e quindi arriviamo ad avere un'equazione che dipende solamente da HB: quasi, infatti possiamo esprimere l'altezza CH in termini delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, grazie al secondo teorema di euclide, sappiamo che

    AH:CH=CH:HB

    da cui

    CH^2=AH\cdot HB=\frac{9}{16}HB^2

    e quindi sostituendo tutto quanto nell'equazione data dalla condizione sui perimetri:

    \sqrt{CH^2+HB^2}-\sqrt{CH^2+\frac{81}{256}HB^2}=\frac{7}{16}HB-12

    \sqrt{\frac{25}{16}HB^2}-\sqrt{\frac{225}{256}HB^2}=\frac{7}{16}HB-12

    e quindi

    \frac{5}{4}HB-\frac{15}{16}HB=\frac{7}{16}HB-12

    da qui non ti resta che risolvere la semplice equazione in HB e poi a ritroso determinare le lunghezze di tutti gli elementi del triangolo. Per i cateti, basterà ricorrere al teorema di Pitagora tra proiezioni e altezza.

    Lascio a te i semplici conti restanti. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille, siete tutti così gentili , siete grandi!! ..

    Risposta di marcolino007
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