Soluzioni
  • Prima di rispondere al quesito, e quindi dire se esistono sottospazi vettoriali di \mathbb{R}^3 di dimensione 1, ricordiamo cos'è la dimensione di uno spazio vettoriale.

    Dato uno spazio, o un sottospazio vettoriale V, definito su un campo \mathbb{K}, la dimensione di V è il numero di elementi di una sua qualsiasi base.

    Ciò premesso, prendiamo un qualsiasi vettore non nullo \mathbf{u} \in \mathbb{R}^3 e consideriamo il sottospazio V da esso generato

    V=\mbox{Span}(\mathbf{u})

    Per definizione di sottospazio generato, l'insieme formato dal solo vettore \mathbf{u} è un sistema di generatori di V.

    Inoltre, essendo \mathbf{u} diverso dal vettore nullo, l'insieme \{\mathbf{u}\} è linearmente indipendente, per cui \mathcal{B}=\{\mathbf{u}\} è una base di V.

    Per quanto detto in precedenza la dimensione di V, che è un sottospazio di \mathbb{R}^3, è 1, e quindi esistono sottospazi di \mathbb{R}^3 di dimensione 1.

    Di esempi da proporre ce ne sono infiniti: basta infatti prendere un qualsiasi vettore non nullo di \mathbb{R}^3, ad esempio

    \mathbf{u}=(1,0,1)

    e costruire il sottospazio da esso generato, definito come l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari del vettore \mathbf{u}.

    V=\mbox{Span}(\mathbf{u})=\{\alpha \mathbf{u} \ | \ \alpha \in \mathbb{R}\}.

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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