Soluzioni
  • Ciao Mery, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Consideriamo l'insieme

    X=[0,1]\cup\left\{2+\frac{1}{n^3+1}\mbox{ t.c. }n\in\mathbb{N}\right\}

    ed analizziamo le affermazioni una ad una.

    1) X coincide con l'insieme dei punti interni di sè stesso: X=X^{o}

    Falso, perché tutti gli elementi della successione non sono punti interni: un punto interno, per definizione, è tale se esiste almeno un intorno del punto stesso interamente contenuto nell'insieme. Osserva che gli elementi della successione per indici n\geq 1 sono punti isolati.

    2) X ha un numero finito di punti isolati.

    Falso: ha una quantità numerabile di punti isolati, alla luce di quanto detto un paio di righe sopra .

    3) DX e FX sono insiemi infiniti.

    Essendo DX il derivato di X, cioè l'insieme dei punti di accumulazione di X, vediamo che è un insieme infinito perché è dato da

    (0,1)\cup\{2\}

    dove 2 è il limite della successione. Essendo FX l'insieme dei punti di frontiera di X dato da tutti gli elementi della successione e dai due estremi dell'intervallo, concludiamo che è un insieme infinito. L'affermazione è vera.

    4) 2 è un punto isolato dell'insieme.

    Falso, è un punto di accumulazione, in quanto limite di convergenza della successione contenuta nell'insieme.

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Non capisco perchè 2 è un punto d'accumulazione e non di frontiera.

    E poi l'insieme [0,1] perchè è infinito?

    Risposta di mery
  • Per quanto riguarda la prima domanda, 2 è un punto di accumulazione e non di frontiera perché non appartiene all'insieme: è il limite della successione, ma non appartiene alla successione. Dovrebbe però essere evidente il perché del fatto che è un punto di accumulazione dell'insieme considerato.

    Per quanto riguarda la seconda domanda, occhio che (0,1) (estremi esclusi) è un intervallo e non è l'insieme dei due elementi \{0,1\}, quindi contiene tutti i valori reali compresi tra 0 ed 1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Scusa la mia ignoranza, ma quali sono i valori reali compresi fra 0 e 1, se "n" dice il testo dell'esercizio appartiene ad N?

    Risposta di mery
  • Attenzione: Laughing la specifica n\in\mathbb{N} si riferisce al secondo insieme che compare nell'unione, cioè alla successione

    \{2+\frac{1}{n^3+1}\mbox{ t.c. }n\in\mathbb{N}\}

    e questo insieme va unito all'intervallo

    [0,1]

    che è l'insieme dei numeri reali tali che 0\leq x\leq 1.

    In particolare, la successione è un insieme numerabile di elementi, infatti è in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali; l'intervallo invece ha la potenza del continuo ed è costituito da una quantità non numerabile di elementi.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi, se io ho [0,1] questo è  un insieme infinito è limitato? 

    Risposta di mery
  • Che è limitato è poco ma sicuro: più che "infinito" (termine equivocabile con "illimitato") è un insieme con una infinità di punti.

    Prova a dare un'occhiata qui: intervalli. :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie per aver chiarito i miei dubbi.......Wink

    Risposta di mery
 
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