Equazione esponenziale con metodo del confronto grafico

Buondì, per risolvere l'equazione data un modo non troppo complicato consiste proprio nell'effettuare un confronto grafico. Tale equazione non si può infatti risolvere secono i metodi standard di risoluzione delle equazioni esponenziali.

Riscriviamo l'equazione nella forma

x^x- 1/x^x=7x²

Ora: la parabola la si disegna facilmente, mentre la funzione a sinistra va studiata. Nel corso dello studio, si rivela molto utile riscrivere

x^x come e^xln(x)

e se ne evince che y=x^x-1/x^x ha dominio il semiasse reale positivo.

Tale funzione và evidentemente a infinito per x tendente a +infinito, se ne calcoliamo la derivata

y'=e^xln(x)[ln(x)+1]

c'è un solo punto estremante, perchè e^xln(x) è sempre positivo:

ln(x)=-1 vale a dire x=1/e

che è un punto di minimo assoluto, basta studiare il segno.

Queste informazioni sommarie ci bastano per fare un confronto con la parabola 7x² e per trovare le eventuali intersezioni tra i due grafici.

y=7x^2 è sempre positiva e sempre crescente sul dominio comune alle due funzioni (x>0) e ha crescita lineare 14x (la sua derivata)

y=x^x- 1/x^x cresce da x=1/e  in poi, ed ha una crescita più veloce rispetto alla parabola.

Tutto ciò ciò è sufficiente per dire che l'equazione ha una e una sola soluzione, di cui possiamo dare una stima.

per x=1 abbiamo che le due funzioni valgono 0 e 7

per x=2 abbiamo che le due funzioni valgono 15/4 e 28

per x=3 abbiamo che le due funzioni valgono 728/27≈26,96 e 63

per x=4 abbiamo che le due funzioni valgono 65535/256≈255,99 e 112

La soluzione è dunque compresa tra 3 e 4 (numericamente si trova 3.539...)

Namasté - Agente Ω